“0+1”和“1+0”一样吗

【摘   要】从涉身认知的视角看，加法交换律源于人的涉身经验，反映的是“空间位置、观察方向、时间顺序的交换，使得总量不变”的规律，是从多种多样、丰富多彩的动作经历中归纳出来的经验，是对运动与变化中不变因素的归纳，是对经历中经验的抽象。其中的特例是对“1+0=0+1”的理解，“1+0”与“0+1”有着本质的差异。从涉身认知的角度看，“0+1=1”具有实际意义，而“1+0=1”具有人为规定的特征。由此得出的结论是：应当倡导拓展对于计算教學的理解，不仅关注算式之后的结果，更应关注算式之前的活动，让学生亲身经历算式发生与发展的涉身活动。

【关键词】涉身认知;交换律;人为规定;运算律;运算法则

“0+1”和“1+0”是否一样的问题，似乎过于简单，不是一个值得思考和回答的问题。无非是在算式中，“0”和“1”两个数字的摆放顺序不同，但计算结果都是1，是加法交换律的一个特例。如果进一步想，“0+1”和“1+0”都是符号组成的算式，凡符号都会指称或表示对象，对象可能是静态的事物，也可能是动态的过程或动作。那么“0+1”和“1+0”分别表示或指称什么？存在哪些差异？这样的问题，似乎就不太容易说清楚了。

一个加法算式“A+B”，其中出现了“A”“B”以及“+”三个符号，A和B表示数，+表示“运算（Operation）”。那么，究竟应当如何认识数（以下所说的数均限定为“自然数”）和运算呢？

一、自然数并不“自然”

什么是“数”？提及“数”，头脑中的“意象（Image）”是什么呢？可能是类似于“3”的符号，但“3”不是数，是表达数的一个符号。这样的符号或文字还可能是“三，叁，Three”等。因此“数”这个概念是不同于水杯、白马这些具体概念的，是抽象的。从古至今，许多前人大师都对数的抽象性有过论述。

19世纪德国数学家利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823—1891）有一句广为流传的名言：“整数（自然数）是上帝创造的，其他都是人造的。”[1]之所以把数视为“上帝”创造的，就是因为在现实世界中，人感知不到数的存在。

20世纪英国哲学家、数学家伯特兰·阿瑟·威廉·罗素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970）将人的认知对象分为两类，一类是像水杯、白马那样特殊的、具体的，称之为“殊相（Particulars）”。另一类是感觉器官感知不到的对象，诸如“数、空间、时间、关系”等，具有抽象性和普遍性，也叫“共相（Universals）”[2]。

凡此都是“二元（Dichotomy）”的“本体论（Ontology）”哲学观，认为认知对象分别“存在（Existence）”于两个世界：一个是感官可以感知的物质世界（殊相），另一个是人感知不到的精神世界（共相）。认知对象分为两类，一类存在于物质世界，另一类存在于精神世界，数就被认为存在于精神世界中。

鉴于数的抽象性特征，如果把“算”看作是以数为对象的“操作（Operation）”，自然也具有了难以理解的特征。对于类似“2+3”这样的算式，同样具有了抽象性，究竟应当如何认识这样抽象的对象？

二、涉身认知

20世纪80年代后，美国的乔治·莱考夫（George Lakoff） 和马克·约翰逊（ Mark Johnson）提出涉身认知的理论，否认精神世界的存在，认为人的认知是“涉身（Embodiment）”的，也就是与人的身体以及身体的活动联系在一起。这一理论缘于认知科学的三点发现[3]。

l人“头脑（Mind）”中的智力活动是“涉身的（Embodied）”，而不仅仅是头脑中的智力。

l人的思想往往是“无意识（Unconscious）”的。

l抽象概念的认识是依赖“隐喻（Metaphor）”的。

意思是，所有认知都是基于头脑、身体与环境的互动，做即是知，知即是做，在此过程中会无意识地形成思维方式，也叫“意象图式（Image Schema）”。这样的思维方式又会自然而然地、不自觉地应用到人的其他活动中。

对于抽象的对象，需要用具体的涉身活动进行隐喻或“类比（Analogy）”。莱考夫和拉斐尔（Nunez Rafael）于2000年合作出版了一本名为《数学来自哪里：涉身头脑如何生成数学》的著作[4]，其中关于数学涉身认知的基本逻辑可以概括为如下三点。

l数学本质上说是关于人的“思想（Idea）”的，而不仅仅是形式化的定义、定理、计算、证明、解题等。

l这样的思想源于人与环境的涉身活动和经验，而不是先验的。

l数学的认知应当通过涉身活动的隐喻得以实现。[5]

不妨用一个直观的示意图表示涉身认知的过程（如图1）。

图1   涉身认知示意图

图中表现出丰富的、反复的涉身活动，能够使人形成相对稳定的思维方式（意象图式），这样的意象图式映射（隐喻）到抽象概念，进而使得抽象概念有“意义生成（Sense Making）”。

从涉身认知的视角看，运算实质是“过程（Process）”以及过程中人身体的“动作（Act）”。从这个意义上说，“A+B”和“B+A”是两个不同的过程，其中数字符号“A”和“B”在算式中位置的交换，并不是“交换”的全部意义。了解二者作为过程和活动的诸多差异，才能凸显交换律的发生以及存在价值。

交换律实质是关于两个不同算式，其结果相同的判断。所谓判断，指的是肯定或否定的陈述，这样的陈述可能是文字语言，也可能是符号语言。所有这样的陈述，都需要辨别和证明是否为“真（Truth）”，辨别与证明的过程其实就是“推理（Reasoning）”的过程，也就是要回答“为什么”和“怎么知道”的问题。

人人都会承认“太阳每天升起”这个判断为真，人是怎么获得这个判断的呢？怎么知道明天太阳是否会升起呢？事实上，明天太阳是否会升起，是一个未来的、尚未发生的事情，那么此时此刻对人来说，就是未知的。人能够做出肯定的判断“明天太阳一定升起”，是依据过去“无一例外地太阳每天升起”的事实，这样的事实使人产生了“无一例外都如此”的经验。

数学课程内容中也有类似的判断，比如：平面上两点之间直线段最短，怎样知道这个判断是对的呢？因为古今中外没有发现例外，人的直觉经验就是如此。人无法找到除此之外的“更短”，而且这样的事实为所有人所公认。像这种源于经验的判断在科学史中叫作“经验的（Experiential）”[6]，在数学中也叫作“公理（Axiom）”或“公设（Postulate）”，具有假设正确，无须证明的意义。

加法交换律作为数学中的判断，也具有经验的特点。是人从经验中归纳出来的规律，是运动与变化中的不变，这或许也是称之为“律”的原因，就像牛顿从物体运动的经验中归纳出物体运动的规律，后人称之为“牛顿三定律”，也属于经验的判断。接下来的问题是，“加”与人什么样的涉身活动有关？其中“交换”是如何体现的？

三、“加”与“交换”的涉身动作

“加（Addition）”作为运算，从认知的视角看，其涉身过程和动作很多。比如，利用容器的思维方式，把“加”视为向容器中“放入”的动作，反过来“减”就是从容器中“取出”的动作，两者是“互逆（Inverse）”的关系。

对于抽象的算式“1+2”，就可以用“向盘子中放入苹果”的动作进行隐喻。把一个盘子看作“容器”，如果规定运算顺序为从左向右，其中已经有1个苹果，人“手持”2个苹果“放入”这个盘子，结果盘子中有3个苹果，如图2所示。

其中的“手持”和“放入”就是涉身的动作。这个过程是否有意义，取决于三个要素：容器中的“原有”，放入过程中的“手持”，放入后的“结果”。图2中的“原有”是1个苹果，“手持”是2个苹果，“结果”是从1个苹果改变为3个苹果。

“2+1”与“1+2”的过程有所不同，容器中的“原有”是2个苹果，“手持”是1个苹果，放入后的结果与“1+2”的结果相同，也是3个苹果，如图3所示。

如果把盘中“原有”的苹果数用字母A表示，放入过程中“手持”的苹果数用字母B表示，那么“A+B”和“B+A”两个放入过程中，A和B的角色是不同的，而且是将A用B替换，将B用A替换，也就是将A和B做了交换。千百年來不断重复出现的事实让人们获得了这样的经验：将“原有”的对象与“手持”的对象进行交换，会无一例外地使得放入的结果不变。

如果把“盘”和“手”视为两个不同的空间位置，那么盘中“原有”与“手持”对象的交换实质是不同空间位置对象的交换，此时反映出的规律是，对象空间位置的交换具有总量的“不变性（Certainty）”。

除此之外，交换律还可以体现在观察方向的变化上。比如，面对地面上的鸡（如图4）。

图4   “左3、右2”示意图

观察者的涉身活动是眼球的转动方向。如果“从左向右”看，先看见3只鸡，后看见2只鸡，由此隐喻算式“3+2”。如果“从右向左”看，先看见2只鸡，再看见3只鸡，此时隐喻的算式就是“2+3”。无论怎样看，无一例外地发现共有“5”只鸡这个结果不变。因此观察方向“从左向右”和“从右向左”的交换，也具有总量不变的规律，因此交换律体现了人涉身活动方式的交换，不会改变总量的规律。观察方向的交换使得结果不变，实质是“对称（Symmetry）”的表现形式。比如：

l回文数：20200202

l回文句：上海自来水来自海上

l英文单词：level

l交换律：A+B=B+A

其特点都是观察方向“从左向右”与“从右向左”交换后，观察结果形式上都是一样的，所以交换律也叫作“对称律”。

综上，“加”作为运算的交换性，可以体现在空间位置和观察方向上。不仅如此，观察的时间顺序，“先”和“后”也是可以交换的。“先看到”和“后看到”，虽然时间顺序不同，但结果相同。图4中，“先左，后右”和“先右，后左”的观察，不仅有方向的差异，还有时间顺序的差异，但结果都是相同的。因此，交换同时具有时间、空间和身体动作的意义，空间位置的改变、涉身动作的改变、时间顺序的改变，都会使得形式或数量保持不变。

以上对于“加”以及“交换”的认识，是以手的动作和眼球的动作为主的涉身活动，还可以通过人“脚”的“行走”动作隐喻加法交换律。行走可以说是人最常见的涉身动作，可以看作意象图式，其三要素分别为“起点、路径、终点”。从时间顺序来说，“先走2步，停止，再走3步”和“先走3步，停止，再走2步”，路径中的停止位置是不同的，但起点和终点是一样的，如图5所示。所以“先走”和“后走”，作为时间顺序是可以交换的。

图5   行走示意图

这样时间顺序可交换的经验是很普遍的。比如学生熟悉的上课顺序，第一节课是数学，第二节课是语文，因为特殊情况，可能改为第一节课是语文，第二节课是数学，总的上课门类不变。

综上，所谓交换律“A+B=B+A”，可以说是来源于人经验的判断，其正确性是经验归纳的结果。具体表现为空间位置的交换、观察方向的交换以及时间顺序的交换。

四、“0+1”与“1+0”的区别

回到文初关于“0+1”和“1+0”的问题。从容器隐喻看，“0+1”中的“0”可以表示一个空盘子，其中没有苹果。“+”表示“放入”动作，“1”表示“手持”以及放入的苹果数，那么“0+1”就表示“向空盘中放入1个苹果”，如图6所示。这是可以理解的过程和动作，“0+1”的过程和动作可以在头脑中出现“意境（Imagery）”，进而有意义生成。

按照同样的容器思维，“1+0”表示盘中原有1个苹果，“+0”表示放入“0”个苹果，也就是没有放入苹果，如图7所示。

此时“1+0”表示“向原有1个苹果的盘子中没有放入苹果”，这样的过程就不符合人涉身活动的规律。“放入0个”等同于没有放入，也就是放入的动作原本就没有发生，使得“1+0”这样的算式无法在头脑中出现合理的意象，因而从认知的角度说，“1+0”缺少实际的意义。

用行走隐喻看，“0+1”可以看作是站在“0起点”，走了1步，如图8所示。

而“1+0”是站在“1”起点，走了“0”步，等同于原地不动，没有行走，如图9所示。这也同样不符合人的涉身活动规律。

因此从涉身认知看，“0+1”与“1+0”有本质的不同，前者可以与人的涉身活动直接建立联系，进而具有意义生成。而后者相对于前者，在容器和行走图式中，没有出现有意义的动作，因此具有抽象的特征。也就是说，作为加法交换律的特例，“1+0=0+1”，不具备经验性判断为真的特征，其正确性就成为一种“建构（Construction）”，或人为规定。区别于经验性的“规律（Law）”，可以称之为“规则（Rule）”。

由此带来两个问题，第一，数学中为什么需要像“1+0”这样无实际意义的内容？第二，应当如何认识这样抽象的内容？《义务教育数学课程标准（2011年版）》第21页课程内容板块“数的运算”第三款中指出：“探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律）……”其中的“探索”，或许就是期望学生进行认知，不仅停留在“知道+应用”，还应当经历“发生+发展”的过程。

数学中承认“+0”的存在，把“0”视为一个数学中的对象，把“+0”视为一个真实存在的运算，究竟是為了什么？

五、“+0”的意义

数学家通常具有“结构（Structure）”的思维，把数学对象看作是相互关联的整体。全体自然数及其运算就构成一个结构，结构的表达需要统一的形式。如果用统一的形式表达交换律“A+B=B+A”，字母A和B可以表示任意自然数，也可以拓展到分数（有理数）、实数、复数。其中的字母A或B允许为“0”，能够使得统一的表达形式具有普遍意义，而且允许“+0”的存在，并不妨碍“A+B=B+A”的普遍性和正确性，也就是这样的规定具有无矛盾性。

另外，把“0”视为一个存在的思维对象，在计算与推理中，也是有用的，能够成为实现算式或代数式之间转换的桥梁。比如：

1+0

=1+（1-1）

=（1+1）-1

=2-1

“2-1”和“1+0”是两个不同的运算，把“0”视为“1-1”，就把两个不同的算式联系到一起，可以相互转化。这样的思维方式实质是把“+0”看作“无中生有”的过程，把“无”视为“有”，创造条件，让“无”与“有”这样对立的双方，实现了相互转化。因此“+0”的过程，体现了对立统一的“辩证思维（Dialectical Thinking）”[7]，而且对于算式转换具有实际意义。

比如，为了计算“19+21”，可以无中生有地添加“0”，算式变为“19+0+21”，由于0=1-1，因此变形为“（19+1）+（21-1）”，也就变成了“20+20”，使得通常所说的简便运算得以实现。简便运算的实质就是这样的算式转换。

再比如初中数学中解一元二次方程“[x2-4x+3=0]”，需要对左边代数式因式分解，通常采用所谓的“十字相乘法”，其实这一方法源于“+0”。

x2-4x+3

=x2-4x+3+0

=x2-4x+3+（1-1）

=x2-4x+4-1

=（x-2）2-1

=（x-3）（x-1）

其中第二行，无中生有地添加了“0”，也就是添加了“1-1”，进而凑平方后，利用平方差公式实现了因式分解。

综上所述，“加”作为数学中的运算，其意义不仅是从算式到结果的“算（Calculation）”，背后是人的“运（Operation）”，也就是涉身的动作。所谓交换律，反映的是“空间位置、观察方向、时间顺序的交换，使得总量不变”的规律，是从多种多样、丰富多彩的动作经历中归纳出来的经验，是对运动与变化中不变因素的“归纳（Induction）”，是对经历中经验的“抽象（Abstraction）”。抽象出来的规律，在自然数集合结构中成为“法则（Rule）”，是计算过程中需要遵守的。

一个特例是对“1+0=0+1”的理解，从涉身动作的角度看，“0+1=1”具有实际意义，而“1+0=1”具有人为规定的特征，更一般的陈述是：任何数与零相加的结果还是这个数。这样的规定在符合无矛盾的前提下，能够保证自然数结构的“统一（Unity）”。同时，把“0”视为两个相同数相减的结果，在实际计算中实现算式间的转换，也是有意义的。

计算教学，往往追求“算”得“又对又快”，某种意义上忽略对算式的理解。这样容易导致的结果是：

l会做，但不懂。

l做对，但不会。

“算”成了依照程序的机械性操作，机械性操作成了“模仿+练习”的机械性训练，失去了理解的过程和多样的生成。因此应当倡导拓展对于计算教学的理解，不仅关注算式之后的结果，更应关注算式之前的发生。让学生有时间、有机会亲身经历算式发生与发展过程中的丰富多彩的涉身活动。真正实现“人人有活动、人人有机会、人人有发展”的理想教学。

参考文献：

[1] CAREY S. Where Our Number Concepts Come From[J].The Journal of Philosophy， 2009，106（4）：220-254.

[2]RUSSELL B. On the Relations of Universals and Particulars[M]. Proceedings of the Aristotelian Society， New Series， 1911-1912： 1-24.

[3]Lakoff， G.， & Johnson， M. Philosophy in the flesh[M]. New York： Basic Books， 1999：3.

[4]韩大勇.涉身性、隐喻与基本算数——莱考夫涉身认知思想研究[J].科学经济社会，2018，36（4）：52-58.

[5]RAFAEL N.Mathematical Idea Analysis： What Embodied Cognitive Science Can Say about the Human Nature of Mathematics[EB/OL]. Educational Resources Information Center （ERIC）， 2000-07-00. [2020-04-24]. https：//files.eric.ed.gov/fulltext/ED466734.pdf.

[6]WHEWELL W. History of Scientific Idea. Volume 1[M]. London： John W. Parker Andson， West Strand， 1858： 24.

[7]郜舒竹. 鸡兔同笼问题中的辩证思维[J].课程·教材·教法，2019，39（09）：88-93.

（首都师范大学初等教育学院   100048）