交换还是结合，需要审慎对待

倪银萍

[摘 要]教学加法和乘法交换律时，教师极易混淆分不清，究其原因是没有区分“广义的交换律”与“狭义的交换律”，同时讲深了怕学生接受不了，讲浅了又怕讲不透彻，这就需要教师在顾及数学严谨性的同时，还要兼顾学生的接受能力。

[关键词]交换律;结合律;广义; 狭义

[中图分类号] G623.5[文献标识码] A[文章编号] 1007-9068（2021）17-0035-02

对于加法（乘法）交换律，笔者一直认为就是交换几个加数（因数）的位置，只要结果不变，就是加法（乘法）交换律。但其实没有这么简单。“a+b+c=a+c+b”应用了哪种运算律？对于小学数学教师而言，这个问题不值一提，而恰恰就是这样一个小问题却引发了笔者的深思。

一、从唇舌之争到网络论战，莫衷一是

在集体备课人教版教材第八册第三章“运算定律與简便运算”时，一教师突然询问：“a+b+c=a+c+b运用了哪种运算律？”当时笔者脱口而出：“只是调换了后两个加数的位置，当然是加法交换律。”笔者年纪轻见识浅，认为这个问题根本就是麻绳穿豆腐——不值一提，何况，打从读书起一代代都是这么教的，而自己从教十数年，也觉得这么教没有什么不妥。“通过位置和顺序的改变来辨别采用的是交换律还是结合律。如果只有位置发生颠倒，运算顺序维持原样，则属于交换律范畴;如果各数字的位置维持不变，但是运算顺序却发生改变，则属于结合律范畴;如果数字位置和运算顺序同时改变，则两种运算律兼而有之。”笔者直抒胸臆。不料这却引起了轩然大波，不少教师提出异议，多数人支持两种运算律并用的观点，他们的论据是交换位置就是为了促成运算顺序的改变，终极目标是为了结合，因此结合律必然在内，交换位置后，就势必要先算前两个加数的和，这就是运用结合律的明证。而笔者则认为该理由不够充足。交换了位置后，先算前两个加数的和实属顺理成章，没有刻意为改变运算顺序做调整，也就是没有结合律参与其中。笔者认为，只有当三个或三个以上的数相加，在不改变加数位置而又改变运算顺序时，才能算得上运用了加法结合律。于是笔者反问：“交换律难道就只能存在于两个加数的加法里？”他们避而不答。对于这个问题，同年级组的教师迅速分成两派：一是只运用了加法交换律，二是加法交换律和结合律兼有。双方各执一词，不肯相让，最后这个问题一直悬而未决。于是，我们求助于无所不知的互联网，但各种回帖众说纷纭，没有足以采信的权威结论。后来双方各退一步，取得最大“公约数”：只要学生会用运算律简算，不必拘泥于用的是什么定律，再说这不是考点，不必自寻烦恼。但笔者就是蛮劲发作，想一探乾坤。

二、多方求教，拜读教参，幡然醒悟

为了释疑，笔者求教一位有着30年教龄的资深特级教师。他的答复是两种运算律都用了，理由是加法交换律只存在于两个数相加的加法中。要想单独交换a+b+c中后两个加数的位置，只能将后两个加数先行结合起来，再交换位置。对于前辈的解释，笔者还是将信将疑、持保留意见。带着种种猜疑，笔者再次研读了教参有关例3的详解：

“必须指出的是，在例3的计算过程中：115+132+118+85=115+85+132+118，把加数85挪至加数132的前面，严格说来，交换律和结合律都有用到。因为这里将132+118视为一个整体，之所以可以把85与（132+118）作整体交换，是因为有加法结合律做后盾。即115+132+118+85=115+[（132+118）+85]重复使用了加法结合律，“=115+[85+（132+118）]”则用了加法交换律。”

笔者认真拜读，并反复推敲第一个算式，何以是重复使用结合律呢？苦思良久，终于开悟：a+b+c+d=a+[（b+c）+d]，先要将b、c结合起来，用到了一次加法结合律，而要想交换已经成为结合体的（b+c）与加数d的位置，必须要将这两部分外层结合，才能为交换位置做好准备，即二次使用了加法结合律。这就明明白白告诉我们：要想交换第二和第三个加数的位置，就一定要先将它们结合起来，进行“组团”，然后才能团体交换。如此看来，所谓的加法交换律确实是两个加数加法的专利。笔者多年来竟然一直犯错而不自知，而从教以来又没有真正沉下心去精研这个问题，通过再读教参，才幡然醒悟。

三、再读资料，温故知新，有了新方向

前辈治学极为严谨，他向我推介一篇文章，文中对“交换律和结合律”进行了鞭辟入里的分析，笔者认真拜读后如醍醐灌顶。

文章高屋建瓴，深入剖析了这个问题。“事实上，乘法交换律针对两个数求积，两个以上的数相乘要使用交换律，它的依据是‘广义的乘法交换律。在《近世代数基础》中对于‘广义的乘法交换律的解释是：如果集合A的代数运算‘·兼备结合律与交换律，那么在[a1]·[a2]·[a3]·[a4]·[a5]·[an]…中乘数的顺序可以随意调换，而乘积不变。例如，假设a、b、c是集合A的三个元素，因集合兼具交换、结合律，所以，六个表达式a·b·c，a·c·b，b·a·c，b·c·a，c·a·b，c·b·a的值都是唯一确定的。我们举证其一来理解。求证：a·b·c=a·c·b。证明：a·b·c=a·（b·c）用了乘法结合律（加括号改变运算顺序），‘=a·（c·b）用了乘法交换律（括号内部两个交换），‘=（a·c）b再次运用乘法结合律（换括号改变运算顺序），‘=a·c·b运用了括号的用途和性质。”研读以上论述后，回答“125×17×8=125×8×17运用了什么定律”时，就可以确信交换律和结合律兼而有之，即广义的乘法交换定律。当然，加法的交换律和结合律一脉相承、同根同源，而小学教科书中没有涉及“广义的乘法交换定律”这一概念，因此，教师将“广义的乘法交换定律”与“乘法交换律”混为一谈实属正常。

这个问题解决了，笔者又想起另一个“陈年旧案”。对“a+b+c=a+c+b”这种变形，前辈认定只用到加法交换律。笔者也这样教了十来年，未觉有异。出现这次争端后，许多教师仍是没有彻底改变观点，网上回帖也是各执一词。这究竟是为什么？带着这些疑问，笔者再次参详了教参57页有关例3教学的文字，颇感庆幸，虽然笔者没有接触什么高深莫测的“广义的交换律”，但笔者却阴差阳错地得到了“交换律只属于两个数的加法”这一结论。与笔者犯下同样错误的教师，也没有能将“广义的交换律”与“狭义的交换律”区别开来。这件事也警示我们，数学教学，在力求严谨的同时，也应当考虑学生的可接受性。所有的严谨，都不能与结论的正确性相冲突，其严谨性应当以学生的接受能力为上限。作为一名小学数学教师，既要弄清所教知识的背景和理论来源，还要明确所教知识在小学学科教学中的深度定位。只有这样，才能做到高瞻远瞩、深入浅出;既保证所教知识的正确性，又不揠苗助长。

看来在日后的教学中，再简单的问题都不能轻易放过，这样才能把握问题本质，提升教学水平。只有不回避，不搪塞，不盲从，直面问题、迎难而上，将解决疑难当成进步的踏脚石，绝不留下“后患”，才能实现教学相长。

（责编 黄春香）