“加法交换律”的种子特质在哪里

编者按：

深度学习是人类学习的本来状态。但是，当教学简化为记住知识以用于考试时，知识学习就成为与生活相脱离的空转活动，思考力与价值观也渐渐从我们的课堂中抽离出去。种子课，是找回深度学习样式的有效路径。种子课没有套路，没有程序，但有生动的课例。老师们可以在课例的讨论中渐渐掌握种子课的精髓，并将其自如地实现于自己的教学实践中。

我们有幸邀请到长期从事教学论研究的北京师范大学郭华教授和小学教学一线资深数学老师俞正强校长，结合小学数学的几个典型课例，就种子课如何实现深度学习展开系列笔谈。希望这组“深谈”，能够给关注小学数学学习的老师带来启发，或带来更多的讨论。

运算律，即简便运算的学习，是小学数学计算学习中的重要内容。简便计算，是让计算简单方便的窍门。照理说，小学生应该很喜欢才对。可事实上并非如此，许多学生其实挺害怕简便计算的，除非题目中要求能简便的必须简便，否则，许多学生宁愿不用简便计算，舍简求繁。对此，许多一线的小学教师都有深刻的体会，这也是一线教师感到困惑的地方。认识以及破解这个问题，其根在于我们的教学，今做一简单分析。

一、举例：“加法交换律”通常是这样教的

不同的教材虽然有些差别，但加法交换律的教学过程基本是一致的，大致分为以下几个环节。

环节一：發现交换位置和不变

1.观察：7+8=15

2.观察：8+7=15

3.发现：7+8=8+7

结论：

两个加数交换位置，和不变。

环节二：概括a+b=b+a

1.举例：5+6=6+5

2.举例：10+8=8+10

......

结论：

a+b=b+a

环节三：应用a+b=b+a

1.例题

2.练习

环节四：小结

整节课没什么困难，加法交换律的发现、概括、应用均可以在较短时间内完成。好像也没什么乐趣，因为对学生而言，得到7+8=8+7的结论是一件不需要观察、不需要思考的事情，是一件理所当然的事情，这还需要发现吗？

但学生是不会把这种意识深处的感受表达出来的。他们依然装作很有发现的样子，应付着我们的老师。因为这一“加法交换律的发现”有个根本的缺陷：学生不知道这个发现的意义是什么。发现过程的无聊带来后面应用规律的无聊。

为此，我们需要思考：加法交换律应该怎么教？

二、思考：“加法交换律”应该怎么教

计算中有算理、算法与算律。

1. 算理与算法

算理主要解决为什么可以得到这个计算结果的问题。算法是对算理熟能生巧后的概括：怎么得到这个结果。

比如：+

算理是1个加2个等于3个，写作。

算法是分母不变，分子相加。

所以简单地说，算理解决“对”的问题，算法解决“快”的问题。

2. 算法与算律

算法是怎么可以得到这个结果。算律是怎么可以比较快地得到这个结果。

算法与算律放在一起，算法解决“对”的问题，算律解决“快”的问题。

比如：15+98+75

算法解决怎么得到这个结果：连加，从左到右依次计算。

算律解决怎么比较快地得到这个结果：15和75可以凑整，先加15和75。

须知，算律是对算法的一次叛逆。

再如：98+15+75

算法同样是从左到右依次计算。

算律是后两个数相加，再与第一个数相加。

算律依然是对算法的一次叛逆。

学生是先学算法，再学算律的。对学生而言，算法是一种大如天的东西，是十分神圣的东西，是与书本和老师权威相连的，怎么可以随便变来变去呢？

因此，算律的学习，必须向着学生的这个心理痛点而行，这个痛点正是算律的意义所在。

三、实践：“加法交换律”应该这样教

环节一：复习

材料：计算12+25+76 41+15+17

1.学生自主完成

2.反馈讨论

结论：

连加：从左到右依次计算。

环节二：新授

材料：计算45+78+55 77+66+13

1.学生自主完成

2.反馈

3.讨论

45+78+5545+78+55

=123+55=45+55+78

=178=100+78

=178

77+66+1377+66+13

=143+13=77+13+66

=156=90+66

=156

讨论：书上说连加要从左到右依次计算，可以这样换位置吗？

结论：

连加是将三个数合并成一个数的运算，怎么合并最后结果都是合并，而且合并可以凑整，让计算又对又快。

环节三：练习

材料：计算72+64+28  84+77+16

1.学生自主完成

2.反馈讨论

结论：

交换位置有两个条件：①连加;②能凑整。

环节四：小结

小结：连加中，两个加数交换位置，和不变。

a+b+c=a+c+b

【分析】这一教学过程，没有单独把加法交换律作为一个规律让学生“发现”，而是放在一个连加的运算环境中，这样有两个好处：

一是學生充分体会了交换位置是为了算得快，这是诱惑交换的力量。

二是学生充分体验了在连加中改变运算顺序的纠结困难，这是阻碍交换的力量。

诱惑交换的力量与阻碍交换的力量交织组成学生们学习这节课的乐趣，也是这节课作为种子课的价值所在。

解决这两种力量纠结的方法是回到运算意义中。什么是加法？加法是把两个数合并成一个数的运算。同样，连加是把三个数合并成一个数的运算。连加重要的是把三个数合并在一起，至于合并的先后顺序并不重要，只要不影响三个数的合并就可以。

这也许是学生们人生中第一次体验“变法”的过程，在变法的过程中，得到一个加法交换律。我们经常讲教书育人，这节课的育人的点正在这里。

四、讨论：为什么“加法交换律”是种子课

小学阶段的运算律有：加法交换律、加法结合律、减法性质、除法性质、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。

在这些运算律中，加法交换律这节课是具有“牵一发动全身”的功能的：

加法交换律学好了，加法结合律基本就不用教了，因为理是同一个。

加法交换律与结合律学会了，乘法交换律与结合律顺手为之即可。

此外，有减法交换律吗？有减法结合律吗？

75-16-15=75-15-16，这应该就是减法交换律了。

126-75-25=126-（75+25），这应该就是减法结合律了。

但书上不叫减法结合律，叫减法性质。

最后，有除法交换律吗？有除法结合律吗？自然是有的。在连除算式中可以有除法交换律。连除中的除法结合律，也不叫除法结合律，叫除法性质。

加法交换律如同多米诺骨牌的第一张牌，这张牌一倒下，后面五张牌便都倒下了，只剩下乘法分配律。乘法分配律怎么讲？我在《种子课2.0》中已经详细说明了，这里不再展开。

“加法交换律”这节课能否起到多米诺骨牌中第一张牌的效用，取决于我们是否真正上到了它的根。它的根在于“算律”两个字。

切记：算律不是规律。

（作者系浙江省金华师范学校附属小学校长）

责任编辑：胡玉敏

huym@zgjszz.cn