通性通法：运算律教学的核心价值（一）

刘善娜

【摘 要】运算律教学的核心是对运算律本身的理解，对其“通性通法”的理解。“什么是交换律”“交换律为什么存在”“如何借助不完全归纳法得出交换律却又体验到科学性和严密性”，这些都是要明晰的核心问题。

【关键词】交换律 通性通法 价值

运算律是运算固有的性质。从自然数集—整数集—有理数集—实数集—复数集，在数系的扩展中自然数的“基本运算律”依然保持有效。因此，基本運算律被称为“数与代数”领域的“通性通法”。学生是先学会了运算再概括运算律的，这就不得不思考：已经熟悉了这些运算，为什么还要概括出运算律？

如“交换律”，含加法交换律和乘法交换律，学生在理解加法、乘法的意义时就深入感知交换律，在加法、乘法的运算及相关问题的解决过程中也一次次接触交换律，那么到了四年级，交换律学习的价值是什么？仅仅为了简便运算？仅仅为了发现有这样一个规律存在？显然不是。运算律实质上是一个数学定理，具有“若P则Q”假言命题的形式，呈现的是运算的逻辑基础，蕴含着合情推理的过程。因此，运算律教学的核心是对运算律本身的理解，对其“通性通法”的理解。

一、通性通法视域下的课前三问

统观交换律的教学设计，先思虑三个问题。

（一）是纳入结合律以便更好地体验“简算”为上，还是只纵向感悟交换律？

有不少交换律研究课，在练习环节放入了类似“25×73×4与25×4×73”的计算简便与否的对比，让学生感受运用交换律带来的简捷，达成交换律“有用”的感知目的。

但是，运算律是运算固有的性质，并非需要“有用”来体现它的存在。数学有一个很重要的特点就是其规律的广泛适用性。运算律的价值，主要是理论上的，即理论上分析数及其运算的性质，其核心是对运算律本身的理解。至于将运算律用于简便运算，那不是运算律最主要的意义。事实上，简便运算本身的价值也不只是使运算简便，训练学生的数学思维是它重要的价值，如培养思维的灵活性。因此，交换律作为运算律的第一课时，应该让学生扎实地感受到交换律是一种怎样的“存在”，理解这个“存在”的“通性通法”，至于它的应用价值完全可以置后到后续的简算练习中去达成。

（二）是否要从“交换两个加数的位置”变成“交换几个加数的位置”？

不少课上，教师在练习之前引导学生展开“联想”，将“两个数相加、相乘”拓展到“几个数相加、相乘”。气氛活跃的课堂里，学生还能大胆质疑交换律的“两个数”，利用等式1+2+3=1+3+2，1×2×4=2×4×1完成对交换律的“修正”——从“两个数相加，交换加数的位置，和不变”变成“几个数相加，交换加数的位置，和不变”。学生的确会生成这样的疑问，“1+2+3=3+1+2运用了加法交换律，可加法交换律说的是‘两个数相加，这该怎么解释？”

不解决这个问题，学生对交换律内涵的理解就是浅层次的。学生需要对三个数进行重新建构，体会三个数相加其实就是两次和的过程，这一过程重新建构的核心是对“加数是把两个数合并成一个数的运算”内涵的理解。

（三）如果只学加法、乘法交换律，是否需要去求证除法、减法交换律？

学生在学习完加法交换律后，他们往往能自发地联想到“会不会有乘法交换律、除法交换律、减法交换律”，这是因为他们在之前的运算中积累下了大量的经验。笔者选择了60位学生，只教学加法交换律的知识然后进行后测：我们已经学习了加法交换律a+b=b+a。1.你认为乘法有交换律吗？2.如果有，你觉得乘法交换律可以怎么表示？

[60个人参加问卷，根据加法交换律，判断是不是有乘法交换律 “判断有”56人，占93.3% “判断没有”4人，占6.7% 用具体例子表示15人 用字母表示30人 其他类的，如用语言表述11人 2人是空白的，什么都没填写 1×2=2×1

6×4=4×6

80×60=60

×80

…… a×b=b

×a 左右换乘后，等于后也是左右换一下 2人，一个认为没有，一个认为没有却写着：a×b=b×a ]

可以发现，学生基本能从加法交换律迁移到乘法交换律，但并不理解字母式表示的意义，说明学生缺少一个归纳和概括的感悟过程。因此，学生需要站在加法交换律的基础上经历类推的过程，在举例、证明、辩论等活动中真正理解乘法交换律，并否定除法交换律和减法交换律的存在。

二、交换律“通性通法”的两个“为什么”

（一）交换律为什么存在？

从科学的角度而言，学习交换律首先要思考交换律为什么存在。各版本教材提到交换律，有的从问题引入，如人教版和苏教版的乘法交换律，先呈现问题引出一个乘法等式，然后举例归纳；有的直接从数学内部引入，如北师大版，让学生观察式子后照样子写，然后根据大量例子归纳出交换律的成立。

至于为什么可以交换，教材没有从本源上说清道理。数学上到底是怎么证明交换律的呢？

1.数学上的证明

（1）借用“自然数的加法”定义即集合的概念

在小学数学里，通常是通过一些具体问题的计算，例如“3只苹果和2只苹果合在一起，一共有几只苹果”来说明自然数加法的意义。这实质上已经渗透着两个自然数的加法与把两个有限集合并成一个集合这两者之间的联系。设A和B是两个不具有公共元素的有限集合，它们的基数分别是a和b，把A和B的元素并在一起组成一个集合C，C叫作集合A和B 的并集，记作A∪B=C，C的基数是c，叫作a、b的和，记作a+b=c。求两个加数的和，就是加法。从这个定义，还可以推出加法的一个基本性质：把集A和集B合并时，无论是把集B的元素添加到集A中去，还是把集A的元素添加到集B里去，结果总是一样的，所以A∪B=B∪A。由此可知，a+b=b+a。

（2）借用演绎推理的方法，给出严格的方法证明

证明：当a>1，b>1时，那么“a”可为以下形式：

[a个][a·b可表示为以下的形式：][b个][a个][a个][a·b=b·a]

所以，当a>1，b>1时，交换律成立。根据乘法定义和补充定义，可以得到，当a=1时，1·b=b，b·1=b；当b=1时，1·a=a，a·1=a；当a=b=1时，a· b=1，b·a=1；当a与b有一个是0，或者都是0时，a·b=0，b·a=0，因此，交换律对于a、b是任何整数都成立。

2.小学生能理解的证明

学生无法去理解交换律的证明过程，它超出了学生的认识水平，需要从学生已有的知识经验出发，寻求学生能理解的、合理的说明途径。

（1）数数求源

上述两种数学的证明方式对小学生而言，都非常抽象。将其内涵直观化、简单化，就可用当代数学教育心理学的一个经典结果——用“数数”这样一种行为性的操作活动来形成自然数的加法概念。加法概念是来自于添加或合并的操作活动，人教版一年级上册教材就是用“接着数”理解加法含义，先数这一部分，再数那一部分。浙教版教材在揭示加法交换律之后，以“一共有几个点子”让学生通过“横着数、竖着数”感悟乘法交换律，不仅非常契合学生的解读能力，也正确地表达了交换律“为什么”存在的道理。

（2）直观“平衡”

学生接触过等量代换的问题，直观理解“平衡”问题。

[4][70][70][4][→][70][70][4][4]

当学生面临上图所示的问题时，他们很清楚要让天平平衡，剩下的“4”和“70”必须如何摆放。而这一直观的看得见的“平衡”，折射的恰恰是数学上的集合“并集”含义。

（3）生活“经验”

有理数的加法定义：在一直线上的两条线段AB和BC，如果不考虑它们的方向，它们的和的长度就等于这两条线段长度的和。

AB+BC=AC

这一数学定义如果与学生每日上学、放学所行的路程联系，将A定为家，将C定为学校，途经公园B，学生就能很好理解上学路上“家→公园→学校”所行路程等于放学路上“学校→公园→家”所行的路程，即AB+BC=BC+AB。

（二）如何通过不完全归纳得到规律却又感觉到完全归纳的科学性？

课程标准指出，认识运算定律其实是一个认识、归纳规律和运用规律的过程。交换律，推理的过程是不完全归纳推理中的枚举归纳推理。但枚举本身不是证明，而是一种解释，重在解释和理解。这就出现了一个两难问题。一方面，小学大多数数学命题都是用特例检验的，就是说，我们要力图通过特例检验让学生相信该命题是正确的；另一方面，又要让学生明白不论用多少特例检验都不能证实该命题。那么，为了让学生感知其科学性，必须让学生从加法含义、累加的角度去感知“为什么”，感悟因果关系，并从找不到反例的角度加以补充，引导学生从枚举归纳推理走向科学归纳推理。毕竟，通过科学归纳推理思考推理过程中得到的每一个判断的理由和依据，是实现课程标准第二学段推理能力目标的重要方法。在教学过程中，需要引导学生经历这样的思考质疑过程：难道任何两个数相加，交换加数的位置，和都不变？一个例外的也没有？我们是不是应该检验一下？用什么办法来检验？如何使检验的结果更加可信？从正向到逆向，逐步落实运算律的教育价值，培养学生科学的、理性的精神。

1.正向丰富：从“自己的例子”到“老朋友”

加法交换律的揭示都经由式子的呈现，式子呈现之后，学生能仿照举例，会发现这样的例子写也写不完。这是用“自己的例子”丰富对加法交换律的感知。每一个例子被写出来，都是对加法交换律本身的一次演练。除了眼前的例子，还要引导学生回忆“老朋友”。学生对于加法交换律非常熟悉，把加法交换律与“数数”沟通，与“一图两式”“一图四式”沟通，与天平“等量平衡”沟通，就能进一步感受到加法的意義是两个部分的合并，哪个部分在加号前哪个部分在加号后都表示合并的过程。而乘法，本身就从加法而来，理解了加法交换律存在的科学性也就理解了乘法交换律存在的科学性。

2.反例补充：从“验证”到“验算”

经历大量正例感知之后，学生需要质疑，通过寻找反例来“完善”不完全归纳法在科学性上的缺失，感觉到这一过程的科学性和缜密性。由于学生之前经历过自己举例等式来发现交换律的过程，此时试图举出反例，必定会考虑与之前的举例不同的数据，一般会选择较大的不容易马上口算出和的整数，如786+78=78+786，或举例小数，如45.2+6.98=6.98+45.2。此时，教师要介入验证的过程引导集体进行“和相等”的验证，在黑板一侧板书竖式进行计算，使“验证”过程与学生丰厚的“验算”经验进行勾联，从而进一步感受到“交换律”的含义。

（未完待续，敬请期待下期内容）

参考文献：

[1]张奠宙，戎松魁.正本清源，通过“数数”活动理解运算律——关于加法、乘法交换律的讨论[J].教学月刊·小学版（数学），2015（6）.

[2]姜荣富.追问知识意义与核心价值——对运算律的理解维度[J].小学教学，2012（5）.

[3]姜荣富.根据知识的特点设计教学——对运算律教学的建议[J].小学教学，2012（6）.

[4]季国栋.简单且深刻——“交换律”教学实录[J].小学教学，2015（2）.

[5]南欲晓.从理解的角度思考运算定律学习中的困难及其对策[J].教学月刊·小学版（数学），2017（1-2）.

（浙江省宁波市奉化区实验小学 315500）