记2019年浙江高考第21题的研习经历

周丕芬 (浙江省宁波中学 315100)

徐春波 (浙江省宁波市鄞江中学 315151)

遇到“好题”，特别是对“好题”经历一番备尝艰辛的研究和学习过程，对笔者而言好比如获瑰宝、如沐春风．在对2019年浙江高考第21题解析几何问题的研习过程中笔者深有感触，能将亲身经历的解题和反思过程写下来，之于笔者是一种释然、一种乐趣．

1 解题

这一阶段笔者通过“初次解题、对比解题、参考解题、调整解题、优化解题、简化解题”六个环节展开．

乔治·波利亚的解题理论主要观点是：弄清题意，拟定计划，实施计划，反思题目．笔者的初次解题是根据上述理论，从明确数学运算对象开始．

图1

问题(2019年浙江高考第21题)如图1，点F(1, 0)为抛物线y2=2px(p>0)的焦点． 过点F的直线交抛物线于A,B两点，点C在抛物线上，使得△ABC的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F右侧．记△AFG, △CQG的面积分别为S1,S2．

(1)求p的值及抛物线的准线方程；

拟定计划 尝试从面积运算出发探寻运算思路，选择合理的运算方法，并设计行之有效的运算程序，最终求得运算结果．设计的运算流程图如图2．

图2

实施计划 如下．

1.1 初次解题

解法1线参——以直线AB斜率的倒数m为参数进行运算．

Step 1 引参．

Step 2 用y1,y2表示．

Step 3 用参数m表达．

Step 4 计算面积比及最值．

反思难点1：限定y1>0比较关键，能有效避免y1符号不定带来的运算困扰．

图3 图4 图5

1.2 对比解题1

解法2线参——用直线AB的斜率k为参数进行运算．

Step 1～2略．

Step 3 用参数k表达．

Step 4 计算面积比及最值．

1.3 对比解题2

解法3点参——用y1为参数进行运算．

Step 1～2同解法1，略．

Step 3 用y1表达．

Step 4 计算面积比及最值．

1.4 参考解题

解法4点参+韦达定理——化用抛物线的参数方程引参．

Step 1 引参．

Step2 求得关键点与直线,限定参数范围．

Step3 计算面积比及最值．

反思参考答案步骤清晰、结构紧凑、思维严谨，化用抛物线的参数方程，参数与韦达定理完美结合，凸显“点参”的威力．

经历解法1、2的运算艰辛，感叹解法3、4的优美和谐，疑问在笔者的脑海中随之产生：韦达定理是标配吗？可否用双参数表达呢？于是重新调整运算流程图(图6)．

图6

1.5 调整解题

解法5双点参+三点共线——利用三点共线合理规避韦达定理．

Step 1 三点共线．

Step 2 用y1,y2表示．

Step 3 面积比及最值．

反思解法5是通过双参数列式，再转化为单参数计算，与解法4殊途同归．从后续题目的推广及深入研究来看，解法4～5具有较好的普适性．

图7

1.6 优化解题

解法6平面几何法——面积比、距离比、坐标比．

图8

反思解法6不走寻常路，巧妙之处在于比值转化．注意到向量在比值运算中的独特作用，于是尝试向量处理．

1.7 简化解题

解法7向量法——面积比、模长比、系数比．

反思解法7虽然抛弃了圆锥曲线的常规解题途径，但不可否认的确简化了计算．仔细分析解法7，笔者发现“抛物线”这一载体完全可以去掉或者更换．继续探究下去，发现此题有着广阔的推广空间，非常适合变题．

2 变题

笔者以解法5和解法6为解题范本，提出以下9种想法．

想法1 去掉“抛物线背景”，将题目变为一道纯粹的平面几何问题．

想法2 一般化：“焦准距p=1”这一常数不给出，是否有类似结果？

想法3 再一般化：“直线AB过x轴上一定点F(a, 0)”，是否有类似结果？

想法4 更一般化：“解除直线AB的束缚”，即去掉直线AB过定点条件，是否有类似结果？

想法5 更加一般化：“让点G自由一点”，即G为中线AM上任意一点，是否有类似结果？

想法6 终极一般化：“让G彻底自由”，即G为△ABC内任意一点 ，是否有类似结果？

想法7 推广到椭圆．

想法8 推广到双曲线．

想法9 去掉圆锥曲线背景，变成一道解三角形问题．