从基本不等式到“勾股容方”——HPM视角下的高三“基本不等式”复习课教学

王 剑 (江苏省无锡市第一女子中学 214001)

汪晓勤 (华东师范大学教师教育学院 200062)

1 引言

复习课是高中数学教学的重要课型之一，高三复习课更是整个数学教学活动中一个重要环节[1]．高三复习课不是已学知识的简单重复和再现，而是把平时相对孤立、独立存在、带有某种规律的知识，以复述、整理、归纳等精细加工的方法串联起来，加深学生的理解[2]．由于高三复习时间紧、任务重，故而教师的教学模式仍然以讲授法为主，忽略了知识发生的自然过程，忽视了学生主观能动性的发挥和主体地位的体现．因此，在高三复习课中如何处理知识的“源”与“流”，帮助学生串联基础知识、掌握基本技能、渗透数学基本思想，就成了亟待解决的问题[3]．

Jankvist认为，数学史是数学教学的指南，不仅可以帮助学生梳理知识发展脉络，加深学生的数学理解，而且可以帮助学生对比古今思想方法，拓宽学生的数学思维[4]．讲述知识的产生，将数学课堂中散落(尤其是不同领域)的知识、问题串联起来，让学生系统地理解、掌握和应用，进一步体会其背后蕴含的数学思想，让数学复习课富有德育价值，焕发勃勃生机[5]．

“基本不等式”是中学数学的重要内容，其运算基本、结构简单、关系深刻，在不等式的知识体系中具有基础性地位[6]．在高考中，对于基本不等式的考查往往以具有实际情境的应用题出现[7]，而高三复习中，学生所面对的相关应用题也是层出不穷．但教师很少使用数学史材料，究其原因，一方面教师缺乏恰当的数学史料，另一方面教师已经习惯于常规例题的讲解，很少有运用数学史、创新复习课教学方式、丰富复习课教育价值的意识．

鉴于此，本文拟从HPM的视角来实施高三“基本不等式”复习课教学，希望为高三复习课教学以及HPM课例研究提供参考．

2 史料分析

2.1 等周问题

借鉴有关文献[8]，发现古人曾用周长来推断城市的大小，公元前5世纪著名历史学家修昔底德(Thucydides)通过绕岛航行一周所需时间来估算西西里岛大小．由此引入，在课堂伊始便引发学生思考，在解决古人疑惑的同时，让学生了解数学的演进．

等周问题的提出与证明最早见于古希腊数学家芝诺多鲁斯(Zenodorous)的《论等周图形》(公元前2世纪)一书，书中证明了如下命题：在边数相同的等周多边形中，等边且等角的多边形面积最大．通过基本不等式解决这一问题，既回顾了知识，也解决了实际问题．

2.2 均值不等式

图1 基本不等式的几何模型

公元3世纪末，古希腊数学家帕普斯(Pappus)在欧几里得的基础上给出了更多中项的几何作图法．[10]

2.3 勾股容方

该题解法有很多[12]，有关文献[13]从勾股容方问题出发引出了一系列均值不等式.笔者便尝试将之引入高三基本不等式复习课，探讨不等式的一般解法及基本不等式在这一问题中的应用，从而进一步联想:若正方形一边恰在直角三角形斜边(弦上容方)，则正方形面积如何计算？与原问题所求正方形面积相比，哪一个较大？

3 教学设计与实施

3.1 创设情境，追本溯源

上课开始，教师展示网上拍卖岛屿的图片 (图2)，吸引学生的注意．

图2 两座不同的海岛

师：我在网上看到了不少有意思的图片，比如“1元拍海外小岛，淘宝助你做岛主！”现在假如你有1元钱，这两座小岛，你会拍哪一座呢？说说你的看法．

生1：第二座，因为看上去面积比较大．(还有学生坐在下面说，她会拍第一张，因为海滩比较漂亮)(传来笑声)

师：看来大家非常善于发现身边的美．海岛很大，古人既没有航拍图，也无法测算精确的岛屿面积，他们是怎么确定面积的呢？(停顿片刻)公元前5世纪，雅典人修昔底德测量西西里岛大小的时候，乘船绕海岸线一周，记录航行时间．在修昔底德看来，绕岛一周所花费时间越长，海岸线越长，也就说明该岛的面积越大.同学们，你们觉得这个方法有数学依据吗？

生2：有数学依据!海岸线的长度可以通过航行时间乘以船的速度估算出来，时间越长，说明海岸线越长，也就意味着岛的周长越长．

师：那么古人的判断方法是，周长越长的岛屿，其面积也越大．正确吗？

生众：不一定正确．

师：测量的时候还碰到一个问题，有两座岛周长相等，哪个面积大呢？聪明的你，怎么帮他解决这个问题？

生3：我们可以观察上面的图形，如果想象成矩形，就可以做了．

师：很好的思路，为了让这个问题更有利于我们现在解决，可以简化,假设两个图形都是矩形．

问题1你能证明“在周长为定值的所有矩形中，面积最大的是正方形”吗？

3.2 横纵串联，多元表征

图3 课件中展示的几何模型

师：这里我们从形的角度对基本不等式加以表征.在高二学习“推理与证明”时，我们进一步通过分析法和综合法，从不等式出发证明了基本不等式，一起来回顾一下(表1)．

表1

问题2如果你成了某座岛的岛主，上岛之后要建一座房子，凭海听涛，临风沐雨．要求地基为矩形，占地面积为S，如何设计能使该矩形周长最小？

师：(小结)运用基本不等式需注意“一正二定三相等”.往往看到和为定值或者积为定值时，想到使用基本不等式，有“和定积最大，积定和最小”．

3.3 勾股容方，古题新探

问题3假设在建好的房子附近，有一直角三角形区域，其直角边分别为5 m和12 m，为了美化环境，你要在其中开辟一个内接正方形区域种植花草，求该正方形的面积．据此提出一个不等式问题，先试着在小组中讨论解决．

教师已在课前发放的问卷中，让学生解决《九章算术》中的“勾股容方”问题(问题3即由该问题改编而成)，并对该问题进行改编，提出新的数学问题．让学生课前完成，目的有二：一是通过作答情况了解学生对于基础知识的储备，便于调整例题难度；二是了解学生对问题的洞察力，培养提出问题的能力．在实际教学中，遵循从特殊到一般的思路进行探索，选择学生提出的问题作为例题，更能激发学习欲望．

师：我们一起来听一听，这位同学是怎么解决课前问题的．

图4 学生作出的勾股容方图 图5 学生对弦上容方的解法

新问题1 如图4，两条直角边分别为5和12的直角三角形ABC中，点D在线段AB上运动，矩形DECF的面积最大值为多少？

注：80%的学生提出这一问题并给予了解答，相信学生已在课前讨论交流，所以课堂中仅予以展示，简单介绍解题思路，并未让学生详答．

新问题2 如图4，正方形边长为a，若点A在CF延长线上运动，直线AD交CE延长线于点B，是否存在S△ABC的最值，是最大值还是最小值？

图6 学生提出的问题与给出的问题

师：运用建系的方法解决图形问题，和大数学家笛卡儿颇为相似，也注意到k的取值范围和取等的条件，思路非常清晰．不过这个方法和提出这一问题的同学的做法并不一样，大家想不想“领略”一下？(教师展示该学生的做法，见图6，部分学生惊叹)

师：这两种方法都是非常精妙的，从题目出发，经过分析得到关系式，计算化简、运用基本不等式得到最值，并研究了等号取得的条件．尤其是这个问题的提出，更是难能可贵，体现了同学们良好的数学素养和问题意识，此时应有掌声．(学生们微笑，热烈鼓掌)

新问题3 直角三角形的哪一种内接正方形面积最大？是不是对任意直角三角形都有这个结论呢？

图7 勾股容方 图8 弦上容方 图9 学生对问题的一般化 问题的一般化 解法的优化

师：什么时候等号成立呢？

生10：(补充)好像取不到等号,那也就得到x>y．

师：非常好.在用基本不等式处理函数类问题的时候，一定要注意函数的定义域，也就是注意基本不等式使用的条件．

3.4 总结提炼，开源引流

师：勾股容方问题起源于古人生产和测量的需要，有勾股容方便有勾股容圆，感兴趣的同学可以课后继续探究．“方圆”也是古人常提的二字，“方”为持身中正，“圆”乃上善若水，希望大家带着数学的眼光观察事物、分析问题、感悟原理，在高三复习中回顾旧知、探究新知．本节课到此结束．

4 讨论

以下，我们利用数学史教育价值的分类框架[14]对本节课中数学史所体现的教育价值进行初步总结．

·知识之谐 一方面，基于海岛测量和等周问题的历史相似性引导学生发现和解决问题，解释了基本不等式引入的必要性，使得学生进一步学习和理解知识的过程变得自然而然；另一方面，从恒等式、几何图形、代数证明等多种方式表征基本不等式，则体现知识之间的横纵联系，亲身经历知识的不断补充、发展的过程，构建良好的知识结构，体现了“知识之谐”．

·方法之美 利用数学史料展现基本不等式的多元表征，拓宽学生的思维．在探索“勾股容方”问题时，学生能够充分利用数学家的方法，结合所学知识，从几何、代数两种不同的角度思考问题，用代数方法解决几何问题：坐标法、作商法、三角换元法等方法精彩纷呈，彰显了数学的“方法之美”．

课后对全班45名学生做了问卷调查，关于本节课中印象最深的内容，67%的学生认为“勾股容方”问题及其解决给她们留下了深刻印象，还有学生写道：“同学们提出的问题和解答的方法非常丰富，让我印象深刻．”“代数几何相结合处理勾股容方问题，最后的三角换元法更是精妙．”

·探究之乐 对历史问题的探索有助于课堂“四基”的达成．从本节课中不难看出，对于学生基础知识和基本技能的训练是比较到位的:由半圆模型到基本不等式体现了数形结合的思想，对于勾股容方的探究则体现从一般到特殊、转化与化归等基本数学思想.在真实情境中引导学生像数学家一样深入思考和分析问题，积累了基本活动经验．随着提出的问题愈加复杂，“探究之乐”也愈发浓烈．

·能力之助 融入数学史的高三复习课有助于培养学生的核心素养．本课例从小岛测量问题出发，通过简化引出等周问题，是数学建模的过程；用《几何原本》中的几何模型表征基本不等式，蕴含了数学抽象和直观想象的素养；综合法和分析法的回顾，体现了逻辑推理素养；对“勾股容方”问题的求解则体现了数学运算素养．图10给出了本节课的设计框架．

图10 本课例涉及的核心素养

爱因斯坦曾说过：“提出一个问题往往比解决该问题更重要．解决一个问题，可能只不过是一种数学或实验技能；但要提出新的问题、新的可能性，从新视角看旧问题，需要创造性的想象力，这标志着科学的真正进步．”[15]基于“勾股容方”的问题提出是本节课的前置任务，部分学生从中找到了均值不等式的精彩应用．表1给出了学生所提的典型问题及所用的相应策略．

据统计，80%的学生通过目标操作提出问题，采用其他三种策略的各仅有1名学生，尚有部分学生无法提出问题.这一结果值得深思．

·文化之魅 本节课让学生看到基本不等式之源，体会到数学在现实生活中的应用，感受到数学背后的多元文化．数学史的融入营造了有“文化味”的高三课堂．

·德育之效 表2给出了本节课所体现的基于数学史的数学学科德育要素以及相应的课堂活动．

表1 基于“勾股容方”的问题提出策略[16]

表2 基于数学史的数学学科德育的落实

课后调查表明，89%的学生认为融入数学史知识的高三复习课能够激发其学习兴趣；对于本节课的德育元素，73%的学生选择了科学素养、理性精神、美学价值．

5 结语

本课例依托等周问题创设情境，解决了基本不等式的必要性问题；基于“勾股容方”问题设计问题串，达到了“四基”与“四能”的要求，培育了学生的数学核心素养；最后，基于数学史的课堂活动渗透了数学学科德育．总之，数学史的融入造就了精彩的高三课堂． 当然，本次教学实践中还存在不足之处．首先，依托等周问题，以真实情境引入问题1、2，连贯性紧密，但与勾股容方相结合，在衔接处稍显生硬；其次，关于直角三角形两种内接正方形边长的比较，还有一些巧妙的方法，由于时间关系课上未及展示，留下了些许遗憾．