中美高中“基本初等函数”内容比较研究——以Franklin D. Demana版与人教社2019版教材为例

叶立军 (杭州师范大学经亨颐教师教育学院 311121)

郑淑雪 (杭州师范大学理学院 311121)

1 问题提出

教材是教学活动的主要载体，反应课程理念与目标．《普通高中数学课程标准(2017年版)》(下称《课标》)指出“函数”是现代数学最基本的概念，在解决实际问题中发挥重要作用，是贯穿高中数学课程的主线．[1]本文选取高中函数的核心内容之一“基本初等函数”，从宏观和微观的角度对中美两版教材进行定性、定量的比较分析，为我国的教材修订和教师教学提供一些参考．

2 研究对象

“基本初等函数”内容分别选自我国2019年人民教育出版社出版的普通高中课程标准教科书A版(下称“人教社2019版”)和美国Franklin D. Demana版的Precalculus Graphical, Numerical, Algebraic(8th edition)(下称“美国Franklin D. Demana版”)．

3 宏观比较

3.1 背景信息比较

将两版教材中基本初等函数内容按背景信息进行比较[1]，得到表1．

由表1，两版教材均把基本初等函数内容放在第一册的两章中，认为基本初等函数是高中数学学习的基础内容．美国Franklin D. Demana版篇幅约为人教社2019版篇幅的2倍,且我国课程标准重视该部分数学运算与数学建模等素养的发展．

表1 基本初等函数背景信息比较

3.2 知识编排比较

选取两版教材中基本初等函数的内容进行整体比较，得到表2．

表2 两国教材编排方式比较表

续表

由表1，在编排顺序上，两版教材均为幂函数→指数函数→对数函数的编写顺序，思路清晰，层层递进．人教社2019版在幂函数与对数函数两小节之后均设计了函数应用部分．美国Franklin D. Demana版教材将应用内容放在最后方程与建模小节．在知识内容上，美国Franklin D. Demana版教材在幂函数前加入了十二种基础函数、复合函数等内容，涉及知识内容较多．

3.3 栏目分布比较

对两版教材中栏目分布概括，得到图1和图2所示的框架．

图1 人教社2019版

图2 美国Franklin D.Demana版

由图1、2，章头内容设计不同．人教社为生活背景，而美国Franklin D.Demana版设置What you will learn about…and why的环节(图3)，明确地给出本章节的学习目标与学习必要性．

图3 美国Franklin D. 图4 美国Franklin D. Demana版学习目标 Demana版资料卡

在旁白设置上，人教社2019版教材的思考环节设置在正文下，是内容的补充．而美国Franklin D.Demana版的思考环节设置在探究活动之后，用于对探究活动和知识点整体掌握情况的反思．

4 微观比较

4.1 知识呈现方式比较

高中的基本初等函数部分中指数函数是较为重要的内容，故将“指数概念的引入”和“指数性质的导出”两部分从知识呈现方式、知识背景、例习题难度[3]的维度进行比较分析．

表3 两版教材“指数概念引入”知识呈现方式比较表

注：括号中为习题数．

由表3，在知识导入与体验上，人教社2019版回顾旧知导入，构建生活与科学情境间接得到指数的定义．美国FranklinD.Demana版则通过比较自变量的不同位置直接得出定义，区分幂函数与指数函数．

在知识讲解与应用上，人教社2019版由浅入深，从两个案例抽象出指数函数概念，通过数学运算与抽象的练习进行巩固．美国FranklinD.Demana版只进行数学运算训练．

在知识拓展上，美国FranklinD.Demana版运用信息技术中的算法编程，估算自然对数的底数e的大小．

表4 两版教材“指数性质导出”知识呈现方式比较表

由表4，在知识导入与体验上，人教社2019版通过图象表征导入、体验性质．美国FranklinD.Demana版计算函数值，归纳数值特点体验性质，旨在培养学生的数字敏感度和数据分析能力．在知识拓展上，人教社2019版用几何画板验证指数函数单调性，借助信息技术使函数性质更加直观．美国FranklinD.Demana版给出人口数据说明，拓宽学生视野．

此外，两版教材在问题情境构建上有较大差异．

表5 两版教材“指数概念引入”“指数性质导出”问题情境比较表

人教社2019版设置情境如游客数预测等，已将其抽象成数学问题且数据较理想化．而美国FranklinD.Demana版情境数较多，运用大量的现实素材，注重情境的真实性、可信性与趣味性，同时运用信息技术进行数据分析与预测．美国FranklinD.Demana版设置了校园谣言的数学实验，使学生体会数学的趣味性与生活中的数学现象．真实的数学情境会使问题更具有复杂性，考查综合能力，实现数学建模、数据分析等核心素养的全面发展．

4.2 知识背景比较

将“指数概念的引入”和“指数性质的导出”两部分涉及背景分成生活背景、文化背景、科学背景、数学背景四个方面进行比较，得到图5．

图5 知识背景比较

由图5，两版教材的知识背景分布总体差异不大，数学背景占比最高，科学占比均为4%，且两版教材知识点中较少涉及到文化背景．人教社2019版教材生活背景占比较少，更多的是数学背景，人教社2019版倾向于在数学抽象中的运用，把基本初等函数作为工具解决其他数学问题．而美国FranklinD.Demana版生活背景占比近四分之一，倾向于基本初等函数在生活中的运用．

4.3 例习题综合难度比较

人教社2019版将习题分为复习巩固、综合应用、拓广探索三部分．美国FranklinD.Demana版习题分为两大部分：复习巩固与拓展提高．其中在每个知识点后均有对应复习巩固部分习题的索引，以达到及时巩固的目的(图6)．

图6 复习巩固习题的索引

根据鲍建生教授建立的综合难度模型[4]，对两版教材中“指数概念的引入”和“指数性质的导出”两部分的例题与课后习题进行综合难度分析．其中，美国FranklinD.Demana版练习量为95题,远大于人教社2019版的40题(图7)．

图7 两版教材例习题综合难度比较图

在数学认知、知识综合、运算方面，人教社2019版领会和探究两个层次数值较高，“多个知识点”层面与简单符号运算占比较多．而美国FranklinD.Demana版操作题与“两个知识点”层面占比较多，且多为数值运算，注重基础巩固，对综合应用的要求较低．在推理因素上，人教社2019版复杂推理稍多，美国FranklinD.Demana版多为简单推理．在背景方面，人教社2019版无背景占比较高，美国FranklinD.Demana版生活背景较多，重视数学与生活的联系，培养数学应用于生活的能力．

在综合难度上，人教社2019版数学认知层面难度较高，美国FranklinD.Demana版更强调数学运算．为进一步分析数学运算的例习题，对数学运算习题类型的个数进行统计．

表6 两版教材运算题类型个数统计

由表6，美国FranklinD.Demana版在运算题类型上较多，旨在培养学生在面对不同运算题时，能够高效地、有效地选择合适算法的能力．同时，美国FranklinD.Demana版在运算例题旁附有代码运算结果，把算法训练与信息技术结合起来．

5 几点启示

5.1 合理设置反思栏目，有效促进深度学习

美国FranklinD.Demana版在探究活动之后设置反思栏目，强调在基本活动后对探究内容、行为、运用的数学思想等进行自我反思．反思是深度学习中重要的一环，是对知识内容理解程度的自我评价．因此，适当设置反思栏目，构建数学核心素养的反思支架，引导学生积极思考已学知识，梳理学习策略，自我评估掌握知识情况，有效促进学生深度学习．

5.2 合理运用信息技术，有效发展数学运算素养

数学运算不是机械的程序化操作，应当对运算的正确性、敏捷性以及算法的有效性和高效性都要有所要求[5]．美国FranklinD.Demana版教材习题中数学运算题类型多，并将数学运算与信息技术相结合．《课标》提出在基本初等函数部分发展数学运算．适当增加运算题的类型，将数学算法与信息技术结合，合理运用信息技术加深数学算法的理解．注重培养在面对不同题型时，快速选择合适算法的能力，拓宽解题思路，有效发展数学运算素养．

5.3 注重知识多元化表征，满足个性化发展需要

人教社2019版由图象与符号表征直观地理解、体验核心知识，建立函数与图象之间的联系．美国FranklinD.Demana版由图象表征和数值特点理解知识，并利用索引联结习题．知识的表征是信息在大脑中的构建与再认的过程．对同一核心内容给出多元化的知识表征，满足学生思维多样性需求，促进个性化发展，提高学生的主动性与创造力．[6]且通过核心内容不同外在表征之间的转换，帮助学生优化函数内容的理解．