遵循历史发展 感悟数学本质——“弧度制”教学实录与感悟*

李 萍 (江苏省梁丰高级中学 215600)

1 基本情况

2019年10月在江苏省高中青年数学教师优秀课评比活动中，笔者执教了“弧度制”一课，得到了评委的认可与好评，荣获一等奖．现将本课整理如下，与大家分享.

1.1 学情分析

本节课授课对象为江苏省常州高级中学高一(6)班，该班学生基础较好，理解力强，有一定的自主探究能力．学生已经学过角度制以及圆的有关知识，掌握了任意角的概念及扇形的弧长和面积公式．

1.2 教材分析

本节课是苏教版必修4教材第1章第2课时，本节内容起着承上启下的作用.教材首先引进任意角的概念，然后介绍角的另一种度量制度——弧度制，这样就可以把三角函数看成是以实数为自变量的函数，为学习任意角的三角函数等知识做了准备．弧度制的引入使三角函数具有更广泛的意义和应用．

教学目标 (1)理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；(2)了解角的集合与实数集R之间可以建立起一一对应的关系；(3)掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题；(4)经历构建弧度制的探究过程，领会弧度制定义的合理性和优越性，培养数学抽象、逻辑推理能力．

教学重点 理解弧度的定义，能正确地进行弧度与角度的换算．

教学难点 弧度制概念的生成．

2 教学过程

2.1 创设情境，激趣导入

日常生活中有非常多的量，例如，长度、温度、重量,等等，度量不同的量要用不同的单位．对于同一种量，也可以有不同的度量单位．例如，在测量长度时，我们可以用米，也可以用尺．但是在不同的场合我们要选择合适的单位，否则会让人感觉很不舒服．

问题130°+sin 30°等于多少？

生：我认为它们不能相加．

师：为什么？

师：很好．我们在必修1里学习了函数的概念，一起来回顾一下．(投影展示函数的定义)

函数是集合A与集合B之间的对应，这里的集合A,B是两个非空的数集．如果我们把角度当作三角函数的自变量合适吗？

生：不合适，因为角度不是实数，不符合函数的定义．

设计说明由问题30°+sin 30°等于多少，引发学生的认知冲突，让学生意识到角度不是实数．高中函数强调实数集与实数集之间的对应，如果把角度当作三角函数的自变量，不符合对应关系的函数定义．事实上，初中学习三角函数是为了解直角三角形，若要进一步讨论三角函数的基本性质，就得用实数作为自变量表示三角函数．

2.2 自主探究，动手实验

问题2能否给出角的另一种度量方式，即用实数来度量角的大小？

师：初中我们已经学过了角的一种度量制度——角度制，大家还记得1度的角是如何定义的吗？

生：将一个圆周分成360等份，每一份圆弧所对的圆心角叫做1度的角．

师：很好！大家知道为何分成360份吗？

(学生没有准备，充满了好奇)

据说古巴比伦人观察到地球的公转周期大约是360天，于是创设性地把圆周分为360份．事实上，角度制带有一定的主观性，划分成其他份数也是可以的．

初中我们还学习了扇形的弧长和面积公式，是什么呢？

师：如果当时古巴比伦人不是把圆周分成360份，例如分成了60份，那么扇形的弧长和面积公式有变化吗？

生：有变化，分母变成了60．对圆周的划分不同，公式也随之改变．

问题3能否在改变度量方式的同时简化公式？

生1：可以，让分母为1就行了．

生2：我认为分母为2更简单．

师：以弧长公式为例，分母为1或2都可以简化公式，但从效果上看，2比1更好，它使得系数变得更简单了．分母为2，就是把圆周分成2等份，与古巴比伦人把圆周分成360等份本质是一样的，既然角度不是实数，那么用这样的方式定义角也不能满足用实数来度量角的大小．

(学生受到启发，继续思考)

生：可以试一下让分母为2π．

师：如果分母为2π，由于π是无理数，所以不能看成把圆周2π等分，这和角度制就有本质区别．那么以这样的方式定义角，有没有可能用实数来度量角的大小呢？我们继续研究下去．

设计说明引导学生发现在改变度量方式的同时，扇形的弧长与面积公式会随之改变，那么改变度量方式的同时又简化公式成了学生的心理需求．学生自主探索发现令圆周角为2π个单位可以简化公式，但是否可以用实数来表示角的大小仍需进一步研究．

问题4如果令圆周角为2π个单位，那么如何作出 1个单位的角？

动手操作：准备圆形彩纸和细绳，让学生动手尝试作出一个单位的角．

师：很好!如何找到长度等于半径长的圆弧呢？

生：在圆形彩纸上任意画一条半径，在绳子上截取和半径等长的一段，将绳子沿着圆周截取一段等长的弧．画出这段弧所对的圆心角，这个角就是1个单位的角．

师：角的大小与圆的半径有关吗？

设计说明让学生在自己动手操作的过程中感受1个单位角的大小.教师展示学生在半径不同的圆中作出的同样大小的角，说明角的大小不会受到半径的影响，并且利用弧长公式严谨的证明，进一步验证这种度量方式的合理性．在不断的提出问题、解决问题的过程中，学生自主探索作出1个单位的角，这既是一种自然的顺应，又是科学的跨越．

2.3 形成概念，构建新知

问题5长度等于半径长的圆弧所对的圆心角是1个单位的角，那么如何度量其他角呢？

给出定义：将长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度(radian)的角，记作1 rad．用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制(radian measure)．

1873年，詹姆斯·汤姆森(James Thomson)教授在其编著的一本考试问题集中创造性地首先使用了“弧度”一词．当时，他将“半径”(radius)的前四个字母与“角”(angle)的前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接受和引用．

早在18世纪，伟大的瑞士数学家欧拉(1707-1783)在他的名著《无穷小分析引论》中倡导用弧度制，即以半径为单位来量弧长，统一了角和长度的单位．

师：很好!也就是l=|α|r，这就是弧度制下的扇形弧长公式，比角度制下具有更简单的形式．同学们认为还有什么公式可以简化？

师：在弧度制下，扇形的弧长和面积公式得以简化，体现了数学的简洁美．角的概念推广后，角的集合与实数集R之间就建立起一一对应的关系，三角函数看成是以实数为自变量的函数，统一了自变量与因变量的进位制．在直角三角形中，弧度作为三角函数的自变量，等于弧长与半径的比值，而对应的因变量是三角形的边长的比，自变量和因变量的形式统一了.弧度制的引入还体现了数学的和谐之韵、对称之美．

问题6弧度制与角度制之间如何换算呢？

生：角度制下圆周角为360°，弧度制下圆周角为 2π rad，它们既然表示同一个角，二者肯定是相等的，也就是360°=2π rad．

注：用弧度表示角的大小时，只要不引起误解，“弧度”二字或“rad”可以省略不写．但是“度”(°)为单位不能省．

2.4 学以致用，深化理解

师：我们先来练习一些特殊角的角度与弧度的换算(图1)．

图1

注：用弧度为单位表示角时，一般不将π化成小数．

例2把下列各角从度化成弧度：(1)252°；(2)11°15′．

例3已知扇形的周长为8 cm，圆心角为 2 rad，求该扇形的面积．

2.5 归纳小结，提炼升华

角的度量有很多进制，如百分度制，它常用于建筑或土木工程的角度测量；毫弧度，一般用作空间分辨率单位；密位制，它被广泛用于航海和军事上．在日常生活中常用角度制，因为它直观方便，便于测量．在数学研究中，我们常用弧度制，它使得我们对三角函数的研究大为简化．从历史过程来看，数学家欧拉之所以引入弧度制，主要原因是为了适应微积分创立之后的科学计算上的需要，它使得微积分中关于三角函数的公式大大地简化．

在角度制下，30°与sin 30°作为三角函数的自变量与函数值不能相加．弧度制统一了三角函数自变量与应变量的单位，于是三角函数就可以通过运算法则形成其他初等函数，使得三角函数有了更广泛的应用性．

3 教学感悟

3.1 揭示概念背景，感悟数学本质和意义

弧度制一直是高中数学中的一个难点，但教材对弧度制的介绍十分简单．大部分教师把教学重点放在弧度制与角度制的相互转化上，忽视了弧度制这一概念本身的意义，导致学生并不清楚引入弧度制的必要性．事实上，弧度制在高中数学中扮演着十分重要的角色，弧度制的引入为我们研究三角函数的性质提供了极大的便利．

3.2 遵循历史发展，体验概念的形成过程

在同一个内容的探究或者接受过程中，不论是学生还是历史上的数学家，都可能存在认知上的障碍，数学家遇到的困难之处，也是学生可能遇到的困难所在．在解决问题的过程中，他们具有的能力或者使用的方式具有相似之处．因此在弧度制概念的教学过程中，笔者从历史的足迹中寻找启迪，引导学生“像数学家一样思考”．

3.3 渗透数学文化，培养学生的数学素养

数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点以及它们的形成和发展，它是经过长久的积淀而形成的，是人们发现规律、认识规律、探究规律、总结规律的成果．数学文化的存在，使数学不再是单调的数字与公式，教师在课堂上时常向学生渗透数学文化知识，有助于学生了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，领悟数学的魅力，促进学生对数学本质的认识．

本节课的教学过程中，笔者向学生介绍了弧度制及其名称符号的发展历史，以及弧度制彰显的简洁美、对称美，让学生了解弧度制的引入经历了一段漫长而曲折的过程，了解数学家欧拉、汤姆森教授等为弧度制的建立所做的贡献，陶冶了学生的情操，培养了学生坚忍不拔的意志、实事求是的科学态度和勇于创新的精神．之后又介绍了其他量角制度，如百分度制、毫弧度、密位制等，进一步展示弧度制下的一些有关三角函数的公式，如正弦函数的泰勒展开式、欧拉公式等，让学生感受引入弧度制的合理性、必要性以及优越性，体会弧度制的意义所在．在课堂结尾处笔者再现了课堂引入部分的问题“30°与sin 30°能否相加？”，首尾呼应，揭示弧度制的数学本质，让学生了解弧度制的引入是数学内部发展的需要，是水到渠成、浑然天成的产物．这样的设计开拓了学生的眼界和思路，激发了学生学习数学的兴趣和积极性，培养了学生的数学文化素养．

本节课笔者利用弧度制的历史及意义进行教学设计，引导学生沿着数学家欧拉的步伐去探寻弧度制这一概念的产生、发展的历程．通过有趣的数学实验，把看似枯燥、抽象的数学概念变得生动形象，使学生在掌握、理解概念的同时提升了自身的数学素养和创新能力．