从2019年山东高考数学模拟卷谈立体几何教学

任晓松 (江苏省苏州市吴江区教育局教研室 215200)

2019年11月30日，山东省教育招生考试院组织山东夏季高考和等级考模拟考(下称“模拟卷”)，对素养导向命题进行了尝试和探索，此次命题从题型到内容都体现出了一个“新”字．

立体几何是高中数学课程的主线“几何与代数”中的重要内容，其教学重点在于帮助学生逐步形成空间观念，并用准确的语言表达和证明相关的立体几何命题，以此促使学生提升核心素养．立体几何是考查学生学科核心素养的一个重要内容与载体，此次模拟卷在单项选择题、多项选择题、填空题、解答题中各考查1题，题型做到全覆盖，分值总计27分．

面临新高考方案的实施，为更好地把握立体几何教学的要求，研究好模拟卷中立体几何相关的试题，无疑对立体几何的教学有一定的指向作用．

1 模拟卷试题的相关课标要求、解答分析及反思

课标要求知道棱锥的体积计算公式，能用公式解决简单的实际问题．

题2(模拟卷第11题)如图1,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点，则( ).

A.直线D1D与直线AF垂直

B.直线A1G与平面AEF平行

D.点C与点G到平面AEF的距离相等

课标要求认识和理解空间点、直线、平面的位置关系，用数学语言表述有关平行、垂直的性质与判定，并对某些结论进行论证．

题3(模拟卷第16题)半径为2的球面上有A,B,C,D四点，且AB,AC,AD两两垂直，则△ABC,△ACD与△ADB面积之和的最大值为．

课标要求能够通过直观图理解空间图形，掌握基本空间图形及其简单组合体的概念和基本特征，解决简单实际问题．

反思本题若不用构造，很难有有效的处理方式，而构造正反映了教师在平时教学中注重对学生思维的引导，注重对学生探究能力的培养．构造的关键在于找关联，三个三角形的面积与三条线段长之间，显然存在直接的关联，但三条线段长与球半径之间的联系，则在于能否发现以点A为顶点，AB,AC,AD为棱构造的长方体，而该长方体为球的内接长方体，构造极具对称美．发现从某种意义上说就是学生的直觉，只有加强培养学生的问题意识，注重学生探究活动的开展，才能让学生有良好的空间感．

图2

题4(模拟卷第19题)如图2，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为矩形．SA⊥平面ABCD，E,F分别为AD,SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．

(1)证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；

课标要求认识和理解空间点、直线、平面的位置关系，运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认知和探索空间图形的性质，能用向量方法解决简单夹角问题．

反思第(1)题重点考查了学生的概念理解和应用情况，转换条件“EF与平面ABCD所成的角为45°”，考虑直线与平面所成角的概念可知，应找到过点F向平面ABCD所引的垂线，作垂线还是找垂线，哪个更合理，这个选择取决于学生对于条件的分析和判断及对空间图形的感知．证“EF为异面直线AD与SC的公垂线”即是对概念公垂线的应用，一方面要证EF⊥SC，EF⊥AD，那么这个思路又应用前面所讲的，把空间图形问题转化为平面图形问题来解决，即从平面ADF、平面SCE中寻找条件证明垂直关系．另一方面，要说明EF与直线AD,SC分别相交，虽然是显然的，但这是必要的，也是逻辑完整性的体现．

2 立体几何教学思考与建议

(1)实施主题教学，提升数学素养

课程标准指出，要整体性把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展．[1]将立体几何初步和空间向量形成一个主题，正是基于教材设计和相互关联，充分考虑教材的整体结构．从教材编排来看，根据课程标准要求，立体几何初步教学中判定定理只要求直观感知、操作确认，在选择性必修课程中用向量方法对这些定理加以论证．这样的教材处理方式正是基于学生的认知水平，原有教材中立体几何体系推导判定定理，固然是具有逻辑性强的优点，但证明过程的抽象化将会让学生产生畏惧情绪，反而不利于学生进一步学习．用向量方法对这些定理加以论证，一方面体现了系统的完整性和严密性，另一方面也体现了两者密切的关系，将立体几何初步和空间向量进行系统的考虑，有利于有目的、有步骤、阶段性地提高学生处理空间问题的能力．课程标准要求立体几何教学应以长方体为载体，认识和理解空间点、直线、平面的位置关系．以长方体为载体研究空间问题，是立体几何初步和空间向量形成主题的最佳媒介，既便于学生接受，又融合沟通二者．模拟卷中，试题第11题就是以正方体为载体研究位置关系及相关计算的，其余第5、第16和第19题以长方体的部分(即该空间图形可补形为长方体)为载体．此外，在处理立体几何问题的过程中，对于命题的证明、空间角的应用和计算，立体几何初步和空间向量会有两种不同的思路．把两者形成一个主题来进行教学，有利于学生在处理空间问题中思维的多样化，提高学生判断、分析、解决问题的能力，强化学生优化意识，从而提高学生的数学素养．

(2)引导概念生成，强化逻辑分析

模拟卷第19题考查异面直线的公垂线概念，和以往的试题考查平行和垂直关系有所不同．2018北京数学高考卷第16题第三问，要求证明直线与平面有交点，和模拟卷的命题思路相仿，可见命题更注重考查数学本质，甄别学生素养的导向．立体几何初步的基础是欧氏几何，而欧氏几何正是在公设的基础上研究图形的性质，推导出一系列定理并组成演绎体系的．概念和定理，是欧氏几何构成的重要支点，立体几何的教学和复习一定要重视对概念的理解和应用，创设情境，让问题引导概念的生成是学生理解概念的首要环节．以二面角的平面角概念生成为例，第一步让学生折矩形纸片，形成90°, 60°, 120°的形状，让学生有二面角的直观印象；第二步，让学生思考如何确保所折矩形纸片的角度为90°或60°，学生会自觉度量矩形与折痕垂直的那一边被折成角的度数(学生的折痕普遍和某边垂直)；第三步，把纸撕成不规则的形状，让学生思考如何来折纸确保所折纸片的度数？学生通过实物操作，将不规则纸片两次对折，后一折痕与前一折痕垂直，之后沿后者展开，学生又发现与第二步中类似确定角度的形状；第四步，将现象进行数学抽象，完成二面角的平面角的数学建构．[2]以上通过四个步骤的操作，让学生通过猜想、操作、思考、归纳、抽象，将二面角的平面角的概念在学生头脑中扎根，同时在构建概念的过程中发展学生的逻辑推理能力．

(3)注重整体思考，寻找局部要素

空间图形是现实世界物体的抽象，学生观察世界，首先接触的是具体的几何体．教材在设计上，对立体几何的研究也是从对空间几何体的整体入手，认识空间图形的结构特征，再以长方体为载体研究空间图形中的位置关系，从中发展学生的逻辑推理素养．立体几何的教学应遵循从整体到局部、从具体到抽象的原则，而在具体问题的处理上，同样也遵循这个原则．如异面直线所成角的处理，就采用了把空间图形问题转化为平面图形问题的思路，这一思路在立体几何教学和问题处理中应反复使用．从模拟考来说，所涉及到的四个题目的解答均用了该处理方法.如第5题中，整体思路是找到合适的高以求解三棱锥的体积，这就需要学生在不同的平面中去处理相关数据，从中寻找、发现高．整体思考有助于把握问题处理的方向，没有对整体的把握，就不易认识局部，如在长方体(整体)中就易发现、生成异面直线(局部)的概念．[3]反之，没有对局部的细微认识，也不能真正认识整体，如模拟卷第19(1)题，找三条两两垂直的棱的长度关系就是明晰该几何体的前提．立体几何问题应从整体把握处理问题的方向和思路，所需的条件在相应的局部(平面)中寻找、发现要素，这一过程体现整体和局部的对立统一，让学生思维得更加全面和缜密，培养学生整体分析、把握问题的能力，从而有效提升其处理问题的素养．[4]

(4)重视问题发现，养成探究习惯

要有效地发展学生思维能力，促进学生主动学习，教师必须让学生有问题意识，教学过程中要重视让学生发现问题，并研究解决问题的策略，在问题解决后还要反思能否有再发现，促使学生数学素养得到进一步提升．模拟卷试题重视对学生发现问题能力的考查，如模拟卷第5题，三棱锥S-ABC的体积的计算，关键在于高的确定，那么是作高还是找高，这个判断就是要在平时教学中不断尝试，从中找到一种合适的问题处理方式．模拟卷第19(2)题，不同于以往考题告诉三条棱的长度，而是让学生从相应的条件中发现三条两两垂直棱的长度关系．课程标准中提到的“四能”与以往相比，增加的就是“发现问题”的能力，可见在立体几何教学过程中，必须重视引导学生发现问题．发现问题离不开教学情境，教师要创设合适的情境激发学生学习的主动性，在师生、生生的对话、思考中将问题引向深入，从矛盾中再发现问题．发现不可能是一蹴而就的，发现在于学生问题意识的养成，在于学生探究活动的开展，在于学生空间概念的完善．在分析和解决问题的过程中，未必要一次性解决问题，发现矛盾是一个新的起点，学生在这个周而复始的过程中，不断探究，思维和素养才能得到不断锻炼和提升．

3 结束语

高中数学课程中，立体几何在发展学生的直观想象和逻辑推理等数学学科核心素养方面发挥着不可替代的作用．模拟卷遵循课程标准提出的教学评一致的原则，将课程标准的评价落地，为在素养导向下立体几何教学的开展提供切实的目标和要求．教学中，教师应切实落实“四能”，以主题教学为抓手，注重立体几何教学的整体设计，做到抽象、推理、运算等方面素养的融合，从而体现立体几何教学的育人价值．