问题引领、追求本质，让数学核心素养的培育落地——以“圆锥曲线的离心率问题”专题复习为例

(湖南省株洲市渌口区第五中学 412100)

1 背景与现状

《普通高中数学课程标准(2017版)》指出：高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质.在提出核心素养的总体框架和基本内涵后，高考正在实现从能力立意到素养导向的转变，不仅强调知识与智力，更强调知识的迁移、从问题情境中抽象出数学问题、从问题情境中构建出数学模型.而现实的问题是，课标虽然对六大数学核心素养作了描述与水平划分，但要把数学核心素养培育渗透到教学中，特别是在高三的高考复习课堂中落地，是一个比较难以把握的问题.很多教师的复习依然延续着重复无效的训练，只有数学题而无数学思想方法的渗透，只有表象而无数学本质.基于此，本文拟以“圆锥曲线的离心率问题”专题复习为例，通过数学问题来探讨如何在课堂教学中让数学核心素养的培育落地.

2 “圆锥曲线的离心率问题”专题复习教学案例片段

·环节1 问题引领，抽象数学解题模型

上课伊始，教师给出以下两个问题让学生尝试解决(10分钟内完成).

生1：对于问题1，我的解题思路是：由双曲线性质得到PF2=b，PO=a，然后在Rt△POF2和△PF1F2中利用余弦定理可得.

图1

师：很好，生1利用问题中的条件列出关于a和c的关系式，进而转化为关于a和c的齐次式，求出离心率e.

追问1 为什么PF2=b？

师：对，这个过程展示得很好，以后同学们可以把它作为一个结论.

追问2 通过这个问题的解决，你有什么体会？

生1：求圆锥曲线的离心率的值，主要是利用条件列出关于a和c的方程，求出a和c或者转化为a和c的齐次式.

师：不错，刚才生1实质是抽象出了解决圆锥曲线离心率的基本思路.希望同学们能用心体会，同时要注意运算过程的选择性与准确性.

生2：对于问题2，我的想法是先利用椭圆、双曲线的定义求出PF1与PF2，再利用条件列出关于a和c的齐次式.

师：根据刚才生1和生2的解题过程,我们可以得出求圆锥曲线离心率的基本模型——利用条件与圆锥曲线的定义、性质等构造关于a,c的关系式，要么求出a,c，要么转化为a,c的齐次式形式.

设计意图通过环节1的两个问题，让学生掌握求圆锥曲线离心率的值的常用策略：利用条件列出关于a,c的方程，求出a,c，或者根据条件得到关于a,c的齐次式，即可得e.这个过程其实质上是从问题中抽象出求解圆锥曲线离心率的模型，使数学核心素养的培育在高三复习教学中潜移默化地得以落地.

·环节2 问题拓展，深化学生的数学素养

在解决上面两个问题并归纳方法的基础上，教师给出下面三个问题让学生解决(15分钟内完成).

A.(1,2] B.(1,2)

C.[2,+∞) D.(2,+∞)

对问题3，生3给出了如下解答.

师：非常漂亮，构造出不等式，通过解不等式求出离心率的取值范围.

追问3 不等式0≤x2≤a2是如何构造出来的？

对问题4,生4给出如下解答.

师：你这个解法怎么得来？

图2

师：同学们，生4在讲解如何求圆锥曲线离心率的取值范围时设计了两种方法，一种是利用判别式构造不等式，一种是利用数形结合构造不等式.其中的数形结合方法渗透着直观想象，可使建立不等关系问题迎刃而解.

生5：问题5可以这么解——

师：生5是如何求离心率的取值范围的？

师：太优秀了，能够从不同角度去思考问题，得出不同的方法.从上面问题的解决过程，我们想一想，求解圆锥曲线离心率的取值范围可以从哪几个角度去思考？

生8：我认为，求圆锥曲线离心率的取值范围主要是构造关于a,c的不等式，主要的构造思路有： ①利用圆锥曲线的几何性质；②数形结合；③基本不等式；④判别式；⑤构造函数，转化为求函数的值域.

师：是啊，求圆锥曲线离心率的取值范围看起来比较难，但是只要抓住问题的本质，恰当地构造不等式就能得到完美的解决.

设计意图求圆锥曲线离心率的取值范围既是重点也是难点，通过问题3～5，让学生抽取出求解圆锥曲线离心率取值范围的基本思路，积累经验，并通过不断的追问，引导学生思考如何构造不等式.同时，在问题的解决过程中渗透了直观想象、逻辑推理等数学素养的培育.

·环节3 归纳总结，追求数学本质

师：纵观近几年的高考试题，圆锥曲线离心率问题是热点之一.这一节课我们探讨了圆锥曲线离心率问题的求解策略，下面对这一节课进行梳理总结.

(1)求离心率的方法.求圆锥曲线的离心率主要围绕寻找参数的比例关系(只需找出其中两个参数的关系即可)，方法通常有两个方向：

①利用几何性质：如果题目中存在焦点三角形(曲线上的点与两焦点连线组成的三角形)，那么可考虑寻求焦点三角形三边的比例关系，进而两条焦半径与a有关，另一条边为焦距，从而可求解；

②利用坐标运算：如果从题目中的条件难以发掘几何关系，那么可考虑将点的坐标用a,b,c进行表示，再利用条件列出等式求解.

(2)离心率的范围问题.在寻找不等关系时通常可从以下几个方面考虑：

①题目中某点的横坐标(或纵坐标)是否有范围要求：例如椭圆与双曲线对横坐标的范围有要求.如果问题围绕着“曲线上存在一点”，则可考虑将该点坐标用a,b,c表示，且点坐标的范围就是求离心率范围的突破口;

②若题目中有一个核心变量，则可以考虑将离心率表示为某个变量的函数，从而求该函数的值域即可;

③通过一些不等关系得到关于a,b,c的不等式，进而解出离心率.

设计意图数学学习要通过做题去实现学习目标，但“人的生命是有限的，数学题是无限的，不能把有限的生命投入到无限的做题中去”.因此,通过数学题这个现象抓住数学思想方法这个本质，是数学学习的重中之重.

·环节4 专题演练，举一反三(略)

3 教学反思

这个教学案例从学生的认知规律出发，循序渐进，在问题中培育学生的数学核心素养，比较好地体现了高考数学专题复习的特征.

(1)精心设置教学过程

作为高考专题复习课，针对学情与考情，这个教学案例教学目标的定位是非常恰当的.通过环节1与环节2引导学生探究解决圆锥曲线离心率问题的思路：构造关于a,c的等式或不等式，重点解决了从哪几个方面来构造等式或不等式的问题，积累了处理圆锥曲线离心率问题的解题经验及认知结构.更重要的是，本教学案例设计不仅符合学生的认知结构，更符合学生的心理化结构. 环节1是处理求解e值的问题，让学生初步认识处理圆锥曲线离心率的方法主要是依据条件列出关于a,c的方程，解出a与c或得出关于a,c的齐次式；环节2在环节1的基础上拓展学生思维，进一步研究解决e的取值范围(最值)问题.在这其中，环节1是环节2的基础，环节2是环节1的延伸.环节3对问题解决进行归纳总结，知识方法得以升华；环节4是学生练习，让学生熟能生巧，固化这类问题的解题方法.整节课层层推进.

(2)核心素养悄然落地

数学核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.本教学案例注重问题引领，在问题中充分暴露学生的思维过程，在环环相扣中揭示数学的本质，构建数学知识结构与方法体系，渗透数学核心素养.环节1的两个问题渗透了数学运算、数学抽象、数学建模等数学核心素养；环节2的三个问题不仅渗透了以上三种数学核心素养，更渗透了逻辑推理、直观想象等数学核心素养.这些数学核心素养培育都不是“空对空”，不是教师强加给学生的，而是在学生的演练、质疑、讨论中潜移默化，润物细无声地落在问题中，落在课堂中，落在学生的思维中.同时，这一过程让学生感受到学习数学成功的快乐，着力培养了学生思维的灵活性、变通性、深刻性、发散性等多种思维品质.

(3)两个值得关注的问题

首先，关于让数学核心素养的培育落地的课堂，一个比较难以把握的问题是：如何判断、评价学生的数学核心素养的表现和水平，这是一个需要长期探讨问题，需要在课堂教学中不断去实践，不可能一蹴而就.其次，课标指出：“要关注数学学科核心素养各要素的不同特征及要求，更要关注数学学科核心素养的综合性与整体性.”因此，我们的教学设计和教学不能人为地将各核心素养割裂，要激发学生的兴趣、激活学生的思维，全方位培育学生的数学核心素养.