对抛物线标准方程中参数p的探究

邹施凯 (江苏省东台中学 224200)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自江苏省四星级重点高中，基础较好，有一定的数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析能力．

1.2 教材分析

所用教材为苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学(选修2-1)》第2章第2.4节抛物线．本节包含两段内容：抛物线的标准方程，抛物线的几何性质．本节课作为节后探究课，侧重对抛物线标准方程中的参数p作进一步探究，旨在对参数p的相关问题进行数学建模．

教学目标 (1)通过对抛物线标准方程中参数p的探究，理解并掌握与参数p有关结论的发现与求解，提高观察、分析和建模的能力，拓展发散性思维能力和综合概括能力；(2)在对教材经典问题的发散探究中，置身于自主探索、质疑思考的氛围，感悟体验数形结合的思想在解析几何中的应用，不断提升直观想象能力[1]．

教学重点 探究与参数p相关结论的数学模型．

教学难点 建构对抛物线本质属性的研究路径．

2 教学过程

2.1 回顾教材，创设情境，引导探究

师：同学们，前面我们学习了抛物线的标准方程、抛物线的几何性质等有关知识，请大家回顾一下：在抛物线y2=2px(p>0)中，焦点的坐标、准线方程分别是什么？参数p的几何意义是什么？x的系数2p的几何意义又是什么？

师：很好！由此我们发现在对抛物线y2=2px(p>0)的几何性质的研究中，参数p的价值举足轻重，那么我们就一起来对与参数p相关的问题作进一步探究．(教师板书课题)

师：我们一起来看课本第54页第12题：过抛物线y2=2px的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的坐标分别为(x1,y1), (x2,y2)，求证：y1y2=-p2．

师：(追问)x1x2是否为最值？在此过程中，大家还有什么发现？

生2：在解题过程中，我发现只要直线方程x=my+t(m∈R)中的t为常数，y1y2就一定为定值，也就是说，如果经过x轴上一定点M的一条直线和抛物线y2=2px相交，那么两个交点的纵坐标y1,y2也满足积为定值．

图1

师：刚才两位同学的探究非常有价值，他们发现了体现在“数”上与p相关的定值.其实利用这些定值，我们也能发现体现在“形”上的“定”，如课本第54页第10题：如图1，已知过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线交抛物线于A,B两点，A,B在抛物线准线上的射影分别为A1,B1，求证：∠A1FB1是直角．

生：设F在抛物线准线上的射影为H，在△A1FB1中，因为FH2=p2=-y1y2=-A1H·B1H，所以△A1FB1为直角三角形，即∠A1FB1是直角．

师：根据我们已获得的解题经验，请同学们完成课本第54页第11题“直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A,B，求证：OA⊥OB”后思考：若OA与OB是抛物线y2=2px(p>0)内互相垂直的两条弦，则直线AB有什么特点？

2.2 聚焦p值，发散思考，拓展探究

图2

师：为进一步探究抛物线y2=2px上点的坐标、弦长等与参数p的关系，我们来思考这样一个问题：已知弦AB过抛物线y2=2px的焦点F，且倾斜角为α，你能用p和α表示出焦半径FA和FB吗？进一步地，你能求出弦AB的弦长吗？

图3

师：同学们对此问题还有其他发现吗？

2.3 总结提炼，分类思考，升华探究

师生共同分析，总结提炼，分类思考，凝炼出如下结论：

结论2 过定点M(2p，0)的一条直线与抛物线y2=2px相交于A,B两点，则OA⊥OB，反之亦成立．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

新课程倡导教师“用教材”，是要教师以教材为蓝本，对课本中呈现的概念、例题、习题进行科学整合，博采众家之长，设计出立足课本、立足经典的鲜活课例来．这就要求教师要充分研读课本内容，吃透课本精神，把握课本内涵，创造性地使用教材．

本节课的设计从课本习题出发，以课本问题为依托，结合学情适当整合,展开探究．从这个意义上说，立足课本，自然节约，是一种“原生态”；用足课本，适当拓展，是一种“生成态”；用活课本，焕发活力，是一种“生命态”．通过建构“原生态、生成态、生命态”的三维数学生态课堂，让学生在探究的殿堂中生态化地健康成长．[2]

本节课的探究设计体现了三维数学教育思想的核心：建模的思想、辩证的思维、化归的思路[2]．本节课建构了对抛物线标准方程中参数p的探究模式，由定义理解到课本习题分析，生成了参数p有关的坐标、线段长度、相关数量关系的架构结论；在可逆问题的探究、数形结合思想方法应用中形成了辩证思维的观点；并在复杂问题的探究中形成了将新问题转化成旧知识的化归思路．

3.2 教学反思

(1)要重视教材中经典习题的教学研究

教材是知识的根本，是经典的结晶，是问题的源泉.面对经典的课本和浩瀚的资料，要构建和谐的数学生活情境，教师就必须牢固树立课本比资料重要、课内比课外重要、概念比题目重要、典型(经典例习题)比非典(非典型性问题)重要的教学理念．只有这样围绕“三课教学法”[2]——夯实课本概念、消化课本例题、引申课本习题来教学，才是有根据、可持续发展的教学．课本第54页第10～12三个题目，看似云淡风清，实质上蕴含了波澜壮阔的联系与事物运动变化的规律．

(2)要重视教材中经典变量的教学探究

(3)要重视学生探究能力、自主研究能力的培养

教材无非是个引子，教师无非是个引路人．高中数学教学的目的不仅是要教会学生“学会”数学知识，更重要的是要教会学生“会学”数学知识．[3]本节探究课，在教师引导下，师生、生生合作探究出与参数p相关的一系列结论，这只能说是完成教学任务的一半．事实上，教无止境，探究无止境，我们还可以因势利导，引导学生进行更为广泛深刻的研究．另外，在探究性教学中我们发现，要特别强调学生的个性张扬，要强调学生自主探究兴趣的激发以及合作学习小组的建立．教学中要小心呵护学生研究的热情，要充分肯定学生在探究中的思考与付出．