探源：让学生深度参与知识的建构过程

杨传冈

【教学内容】

义务教育教科书苏教版四年级数学下册第55～56页。

【教材分析】

运算律是小学数学中唯一以定律方式呈现的数学内容，运算律是数学运算中的规律，是数学运算的通性。在小学数学教学中，计算教学在前，运算律教学在后，计算方法不从运算律推出主要是考虑到学生年龄与智力发展的阶段性特点。不过，在教学运算律以后，如果再认识计算法则，学生反而会有更深一层的理解。本课教学加法交换律和结合律，教学中不仅要解释数学规律，更要关注学生的数学思考。考虑到学生的活动经验基础，可以先教学交换律，再教学结合律。

【教学目标】

1.让学生经历探索加法运算律的过程，理解并掌握加法运算律，初步感知应用加法交换律和结合律可以使一些计算更简便。

2.在探索运算律的过程中，发展分析、比较、抽象、概括能力，培养学生的符号感。渗透初步的代数思想，体会“变”与“不变”的辩证思想。

3.在探究过程中获得乐趣，体悟成功，进一步增强学生对数学学习的兴趣和信心。

【教学重点、难点】

重点：探索加法运算律并学会运用。

难点：加法运算律的建模。

【设计理念】

1.在知识理解掌握上强调任务牵引，联系实际，贴近学情，从学生司空见惯之处入手;在知识学习上注重引导学生经历科学的数学探究过程，从大量计算现象中归纳规律，体会“变”与“不变”的辩证思想。

2.在价值追寻上强调数学味，让学生学真正的数学，体察“大道至简”之美。教学侧重点放在引领学生经历运算律的形成过程，以“猜想—验证—结论”为路径。

3.在难点破解之处强调创新，紧扣难点，创造性使用数形结合思想直抵知识内核，于知识的生发、生长过程中层层剥笋，于细微之处的思辨、追问中，不断建构加法运算律的清晰认知，让学生领略到数学建模的方法以及符号化的模型表达方式。

【教学过程】

一、故事引入，学习加法交换律

1.研究实例

师：同学们喜欢听故事吗？今天老师给大家带来了一个故事，名字叫《朝三暮四》。（播放动画片）

师：你们为什么笑？

师：猴子们每天分得的桃子如愿增加了吗？从数学的角度，你想说什么？

师：你能用一个等式说明问题吗？

（教师板书：3+4=4+3）

2.大胆猜想

（1）引导观察

师：观察这个等式，等式两边有什么相同和不同？

教师根据学生发言，重点抓住“两个数，位置不同，和不变”这些特征。

师：像这样的等式，还有吗？你也能说出一些吗？

学生自主举例，教师随机选择不同数域的例子板书。

（2）引发猜想

师：通过这些例子，你有什么大胆的猜想？

教师引导学生抓住“两个数，交换位置，和不变”等关键信息。

3.科学验证

（1）合情推理

师：如果给你足够的时间，你还能写出多少组这样的等式？

（2）搜索反例

师：交换两个加数的位置，和一定不会发生变化吗？

师：你是怎样想的？

生：两个数大小不变，交换位置，和不会发生变化。

师：想得真好，说得真棒，数学家们也是这样思考的。

4.提炼结论

（1）揭示规律

师：看来，“交换两个加数的位置，和不变”确实是一条规律。这就是加法交换律，交换的是加数的位置。

（2）字母表达

师：你能用更简洁的方式表示出这条规律吗？

生：△+○=○+△，a+b=b+a，甲数+乙数=乙数+甲数……

师：同学们太厉害了，用多种方法表示出了加法交换律。在数学上，人们习惯用字母a+b=b+a来表示加法交换律。

师：文字表述和字母表示法，你更愿意记哪一种？

师：那就让字母表示法在我们的大脑中飞一会儿，大家记住了吗？

师：大家这么快就能记住用字母表示加法交换律，说明用字母表示的确更简捷。

5.知识内化

（1）整体建构

师：其实这条规律我们早就在使用，一年级刚入学就学习了数的分成，同一个加法问题用两种算式解答，二年级时交换加数位置进行验算，這些都运用了加法交换律。

（2）生活运用

师：生活中这样的例子真不少。看图1，这是我校四（1）班大课间活动的场景。你能从中获得哪些信息？根据信息又能提出哪些问题？

生：跳绳的有多少人？女生有多少人？参加活动的一共有多少人？

师：一共有多少同学在跳绳，该如何列式呢？

教师根据学生回答列式：17+28，28+17。

师：如果不计算，你知道这两个算式的结果相等吗？

生：因为求的是同一个问题，结果一定相等。

（教师板书：17+28=28+17）

（3）数形结合

6.迁移拓展

（1）学法建构

回顾刚才得到规律的过程，我们从几个例子的观察中产生猜想，然后用举例、说理、画图的方法逐步验证，最终得出结论，这可是科学研究的一种好方法。

（2）新的猜想

师：刚才我们探究的是两个加数之间的规律，那么三个加数之间有没有规律呢？如果有，你打算怎样探究呢？

设计说明：教学中，教师采用学生感兴趣的故事引入新课，既有效激发学生的参与热情，同时也让学生意识到变化中的不变，自然引出全课的研究主题——运算律。从生活实际问题中引出问题，提出猜想之后，进行深入求证，在求证的基础上提炼加法交换律，学会用字母表达规律，在此基础上联系前面所学知识进行整体建构，着力让学生经历数学知识的产生过程。整个学习过程遵循学生的认知发展规律，让学生通过数学的方法来学习数学，锻炼学生的数学思考力，发展逻辑思维能力。为了帮助学生突破理解的难点，教师创造性地用数形结合的思想方法帮助学生建构交换律的本质意义，从而逼近知识内核。

二、举一反三，探索结合律

1.实际探索

（1）例题呈现

根据图1回答问题：求参加活动的一共有多少人，可以先算什么？你打算怎样列式？也可以先算什么？

[根据学生回答在黑板上板书算式：（28+17）+23=28+（17+23）]

①猜想：猜想一下，这两个算式的和相等吗？相等的理由是什么？（都算的是参加活动人数，总人数不变。）

②计算：实践出真知，动笔算一算，看看是否会相等？第一、第二小组算左边的算式，第三、第四小组算右边的算式。

③结论：等式左右两边的和相等，现在我们就用等号来连接每一个算式。

（2）自主验证

①问题提出：是不是任意三个数按照这样的方式相加，和都不变呢？你能按照刚才的学习方法，先举例再验证，继续研究吗？

②学法指导（PPT呈现）

③学生活动

成果展示：以小组为单位将本组举例结果贴于黑板上。

交流验证：一起来检验黑板上的例子，看看每个等式两边的和都相等吗？

（3）抽象提炼

师：老师这儿也有一个例子：（甲+乙）+丙○甲+（乙+丙），你认为○里能填等号吗？

生：能。

师：这个等式能代表刚才同学们所举的所有等式吗？

生：不能。

师：这个等式是不是只能代表刚才所举的这些等式？

生：是。

师：像这样的例子，你还能举出多少？

师（小结）：看来，这个等式的确可以代表一个数学规律，你能用自己的话说一说这个规律吗？

2.呈现规律

①揭示规律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再同第三个数相加，或者先把后两个数相加，再同第一个数相加，它们的“和不变”，这就是加法结合律。

②字母表达：如果用字母a、b、c分别表示三个数，你能用字母简洁地表示出这个规律吗？

学生自我尝试、展示，教师规范并板书：（a+b）+c=a+（b+c） 。

3.数形结合

师：除了计算、说理，也可以用画图的方法说明，对于男生跳绳的人数、女生跳绳的人数、女生踢毽子的人数，我们可以先算什么？再算什么？（PPT演示过程）

4.整体建构

师：和加法交换律一样，我们也熟悉加法结合律，在学习凑十法、加法口算时就用了这个规律。（PPT呈现）

师：加法交换律和加法结合律可以统称为加法运算律，现在你能運用学到的知识解决一些问题吗？

设计说明：教学加法结合律时，教师充分领悟编者的意图，给予学生充足的探索时空，倡导学生自主设计学习、自主开展研究性学习、自主展示学习成果、自主应用研究成果。学生以加法结合律规律探寻为任务牵引，以加法交换律学习过程中提炼的方法为模型，通过教师导学、个体独学、小组共学，最终实现加法结合律从现象到本质的深度认知。

三、效度检测，深化运算律

1.说一说

说说下面的等式各应用了什么运算律：

82+8=8+82

（84+68）+32=84+（68+32）

2.比一比

师：今天学习了加法交换律和加法结合律。想一想，这两个运算律之间有什么相同点和不同点？（梳理完善表格）

3.填一填

19+35=35+□ 101+a=□+101 c+□=□+c

（33+57）+43=33+（□+□）

120+（180+36）=（120+□）+□

设计说明：教学中，教师通过两种加法运算律的异同点梳理、对比，深化学生对加法运算律“变”与“不变”的理解，使学生对运算律的认知从感性走向理性，帮助学生整体建构加法运算律。辅以适量的梯度练习，让学生在基础练习、提高练习、开放练习的解决中细细体悟加法运算律。让学生在思考、讨论、交流中理解“三个数相加，任意交换加数的位置，和不变”，教师适时将加法的个数推广到任意多个，从而让学习过程更有深度、更有整体感。

四、回顾整理，拓展运算律

师：通过今天的学习，你有什么收获？今天我们采用的研究方法是什么？

师：今天学习了加法的交换律、结合律，关于减法、乘法、除法，你现在有没有一个更大胆的设想？如果有，请你按照今天的研究方法，课后自己去研究，也可以小组合作研究，研究成果可以发到老师的邮箱，也可以和老师当面交流。

设计说明：学习方法是数学教学的重要任务之一，正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”。在整理环节中，教师要让学生交流课堂学习心得，引导、帮助学生对新知进行结构化梳理，还要因势利导，鼓励学生大胆说出关于减法、除法运算律的设想，并引导学生课后用本节课学到的方法进行研究性学习，学会自主学习。

（作者单位：江苏省盐城市第二小学）