从“形”观“数（shù）”，从“数（shǔ）”现“律”

2020-05-28张玉平

教育信息化论坛 2020年3期

张玉平

一、课前思考

（一）从乘法的意义来看

乘法的意义即“求几个相同加数的和的简便运算”。课改前，“5+5+5”必须写成“5×3”，而“3+3+3+3+3”必须写成“3×5”，遵循“每份数×份数=总数”。课改后，为降低教和学的难度而淡化了这部分要求，导致学生对乘法的意义理解模糊，“3×5”既可以表示5个3相加的和，也可以表示3个5相加的和。不讲任何道理，违背学生认识的常识，这样的“模糊”以至于乘法交换律的教学显得多余。教学中，我们还是应对学生说明，这两个算式表示不同的过程，但结果一样。这样也有利于学生理解分数与整数相乘和整数乘分数的意义：前者是整数思维，后者是分数思维。如果当学生对 ×3和3× 的意义尚且不清楚时，就轻易地说 ×3也可以写成3× ，是不是太武断了？

乘法是加法的简便运算，所以，加法有的运算律乘法自然也有。这需要我们在教学中打通加法运算定律和乘法运算定律之间的联系：一是观察上的相同，二是形式上的相同，三是叙述上的相同。此外，还要打通乘法交换律与结合律之间的联系。如果把乘法结合律中先算的两个数的积看作是一个新数的话，那么其本质就是乘法交换律了。说得更明白点，就是：a×b×c=a×（b×c）。如果把b做标准，它可以先与a乘，也可以先与c乘，这事实上就是a与c进行交换;同样，a可以先与b乘，也可以先与c乘，这就是a与c交换;另外，c可以与b相乘，也可以先与a相乘，那么就是a与b进行了交换。

（二）从学习心理学来看

根据现代学习心理学的研究，学生对加法、乘法的意义及其运算定律的理解，其本源在于“数数”的操作活动。因为运算定律不是“写出来的”，也不是“算出来的”。非常遗憾的是，现在教材中提到交换律、结合律，就是让学生用两个数来验证一下，然后要学生分组举很多例子去归纳出规律成立，至于为什么可以交换，没有从本源上说清道理。“数数”这样的基本数学活动要成为学生理解自然数运算规律的一把钥匙。数形结合，主要是指数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系结合起来，通过抽象思维和形象思维的融合，使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，让思维可视。如，教学乘法交换律时，教师可以让学生经历这样四个过程：直观表征→半直观半抽象表征→模式表征→抽象表征。

首先是用“数数”的操作活动，以及“竖着数”“横着数”这样的生活语言，说明“3×5=5×3”等式成立的合理性。另外，从这两个算式的计算方法上看，我们用同样的一句口诀“三五十五”，也就是说，我们以前归纳乘法口诀时已经用上了乘法交换律。更为奇妙的是，我们观察算式“3×5=5×3”，从前往后读与从后往前读是完全一样的！接着，利用“面积模型”建构等式：3×5=5×3，最后抽象为字母表达：a×b=b×a。

这样学生的认识就是一个由浅入深的过程，也是一个不断抵达数学本质的过程。因为运算律是运算的主要性质，反映了运算的規律性。学习运算律不仅是为了计算简便，更为重要的是发展学生对于数与运算意义的理解，培养数学计算与学习的能力。小学数学运算律的教学，应基于数学本质，引导学生在“数数”的基本活动中体验数学方法、感悟数学思想，体现对数学知识体系的建构。

二、课堂实践

（一）谈话导入

1. 回忆：上节课学的加法定律，用字母表示。

加法交换律：两个数相加，交换加数位置，和不变，即a+b=b+a.

加法结合律：三个数相加，先加前面两个数或先加后两个数，和不变，即a+b+c=a+（b+c）.

2.猜想：既然乘法是加法的简便运算，那么在乘法中是否也会存在如此的运算定律？这是我们今天学习的课题：乘法交换律、乘法结合律。

（二）重点突破

同学们分成3组踢毽子，每组5人，一共有多少人在踢毽子？

1.如果孩子们是在操场上排队进行比赛，你能用图表示出来吗？

2.引导学生画出长方形图。

两种不同的“数数”方法：

竖着数有5个3，是3×5=15