条件弱鞅的γ 型概率不等式及强大数定律

冯德成， 杨亚男， 文慧敏

（西北师范大学 数学与统计学院，甘肃 兰州730070）

本文用｛Sn，n≥1｝表示定义在概率空间（Ω，A，P）上的随机变量序列.记

这里F是A的子σ -代数，IA表示集合A 的示性函数，log+x ＝ln（max（x，1））.

定义1［1］设｛Sn，n≥1｝是一随机变量序列，如果对任意的j ＞i≥1，都有

E｛（Sj-Si）f（S1，S2，…，Si）｝≥0， a.s.，（1）其中f是任意分量不减函数，并且使上述期望有意义，则称｛Sn，n≥1｝为弱鞅，如果进一步假设f是非负的，那么称｛Sn，n≥1｝为弱下鞅.

定义2［2］设｛Sn，n≥1｝是一随机变量序列，如果对任意的j ＞i≥1，都有

其中f是任意分量不减函数，并且使上述条件期望有意义，则称｛Sn，n≥1｝为条件弱鞅，如果进一步假设f是非负的，那么称｛Sn，n≥1｝为条件弱下鞅.自Hadjikyriakou［2］提出条件弱鞅和条件弱下鞅的概念以后，很多学者给出了条件弱（下）鞅的一些概率不等式及其应用结果.例如，Christofides 等［3］建立了条件弱鞅的极大值不等式以及相应的强大数定律；Wang［4］等得到了条件弱下鞅的极大值不等式以及非负条件弱鞅的极小值不等式；王星惠［5］讨论了条件弱鞅及其函数的一些重要不等式，如极大（小）值不等式，Doob 型不等式，基于cY 函数的条件弱鞅的极大值不等式，以及非负条件弱鞅的最大φ不等式；冯德成等［6］给出了条件弱鞅的一类极小值不等式.

受文献［7］的启发，本文利用文献［4］中的极大值和极小值不等式得到了条件弱鞅的γ 型概率不等式，同时得到了条件弱鞅的一个强大数定律.

1 主要结论及其证明

引理1［8］设X是一非负随机变量，则有

引理2［4］设｛Sn，n≥1｝是一个条件弱鞅，且g（·）是R 上的不减凸函数，满足EFg（Si）＜∞a.s.，i≥1，则对任意的F -可测随机变量ε ＞0，a.s.，以及任意的n≥1 有

引理3［4］设｛Sn，n≥1｝是一个条件弱鞅，且g（·）是R上的不减凸函数，满足EFg（Si）＜∞，a.s.，i≥1，则对任意的F -可测随机变量ε ＞0，a.s.，以及任意的n≥1 有

引理4［9］设｛Sn，n≥1｝是一个条件弱下鞅，满足S0＝0，｛ck，k≥1｝是一列不减的正实数.假设存在一个正常数p ＞1，使得对每个n≥1，都有