几何画板与高中函数教学的整合研究

殷开勇

摘 要：在新课程改革不断深入的背景下，现代教育技术（如几何画板、geogebra等）与高中数学教学的结合是一个非常好的改革方向。多年以来的教学实践已经证明，将现代教育技术整合到高中数学教学，对于教学质量和教学成果起到了显著的提升效果。

关键词：现代教育技术;高中数学教学;整合研究

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2020）05-056-2

一、教学过程

1.创设情境，提出问题

教师：我们通常用函数来描述物体运动变化的规律。接下来我们要学习的导数也是研究解决函数问题的一个重要工具。今天，我们就从平均变化率开始来进行导数的学习吧。（用PPT给出材料）

教师：这是姚明的身高变化曲线图，请同学们读图并思考：在哪个年龄段，他的身高变化是最快的呢？

学生1：从图形上来看，13～16这段图像最陡，所以他的身高变化是最快的。

教师：我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：数缺形时少直观，形缺数时难入微。如果我们想进一步判断4～13岁，16～22岁这两个年龄段的身高变化快慢，光靠看图还够不够？还有没有什么办法可以进一步地来刻画呢？

学生2：可以用身高的增长量來除以所用的年龄。

4～13岁：1.61-0.813-4=0.09（米/年），13-16：2.12-1.6116-13=0.17（米/年），

16～22岁：2.26-2.1222-16=0.02（米/年），所以在16～22岁这个年龄段身高增长最慢。

教师：很好。通过计算，我们可以看出13～16这个年龄段他的身高增长确实是最快的。在16～22这个年龄段他的身高增长是最慢的。在这个问题中，我们从图像的陡和缓（形）来得到一个直观的判断，然后从数的角度（也就是身高差和年龄差的比值，即身高的年平均变化率）来做了一个进一步的刻画。数形结合的方法往往可以给我们的解题带来很大的方便。

2.过程感知，建构数学

教师：数学来源于生活，又服务于生活。我们在座的同学应该都有过吹气球的经历，在吹气球的过程中，我们发现，随着气球体积的增加，气球半径的增加却越来越慢。那么从数学的角度，如何描述这种现象呢？

教师：我们可以把气球近似地看作一个球体，那么气球的体积V与半径r之间的函数关系是V（r）=43π·r3，反过来，如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）=33V4π。下面，我们就利用这两个函数，借助几何画板，来模拟一次吹气球实验。在这个过程中，我将分3次连续给气球充气。第一次打气10下，第二次再打10下，第3次打5下。在几何画板课件中，我已经编写好了函数，只要我们采集到第一次充气10下之后气球的半径的测量值r1，就可以算出此时的气球体积V1，从而算出V2和V3，然后利用半径关于体积的函数式，由V2求出r2，由V3求出r3，这样我们便可以得出一组吹气球的模拟数据了。

教师：请同学们利用这一组数据，想一想如何描述题中所提出的问题。

学生3：通过计算我发现：r1-r0=0.45，r2-r1=0.12，r3-r2=0.04。随着气球体积的增大，半径的增加越来越小。

学生4：我觉得你的计算方法有点问题，第一次和第二次打气的量是相同的，但是第三次打气的量和前面两次不一样，这样单纯地作差不科学。我计算了体积的变化：V1-V0=0.38，V2-V1=0.38，V3-V2=0.19。然后又计算了V1-V0r1-r0=0.85，V2-V1r2-r1=3.26，V3-V2r3-r2=4.36。但是我感觉好像有点不对。

教师：哪里不对了呢？

学生4：这个比值是递增的，这和题目中气球半径的增加越来越慢好像矛盾了。

学生5：老师，我是把这几个式子的分子分母交换一下计算的：r1-r0V1-V0=1.18，r2-r1V2-V1=0.31，r3-r2V3-V2=0.23。我感觉可以解释这个现象。

教师：很好！那么你是怎么想到要用半径的差值来除以体积的差值的呢？

学生5：因为题目中说的是随着气球体积的增大，半径增加得越来越慢。所以气球的体积V应该是自变量，半径r是函数。所以应该这样列式。

教师：非常好！（展示几何画板隐藏的计算值）

教师：下面我们再从形的角度来观察一下函数r（V）=33V4π的图像变化趋势。（几何画板演示）

3.归纳概括，表征概念

教师：请同学们思考：在上述案例中，1.我们是如何刻画物体的变化率的？2.他们有什么共同之处？（师生讨论、交流）

板书：一般地，函数f（x）在区间[x1，x2]上的平均变化率为f（x2）-f（x1）x2-x1。

教师：如果我们用Δx来表示x2相对于x1的增量，那么f（x2）相对于f（x1）的增量可以记为Δy。那么，平均变化率也可以表示成f（x2）-f（x1）x2-x1=ΔyΔx=f（x1+Δx）-f（x1）Δx。

教师：请同学们观察平均变化率的表达式，如果我们从几何的角度来看，这和我们之前学过的哪个公式比较接近？

学生6：两点间的斜率公式。（利用PPT展示平均变化率的几何意义，在平均变化率的几何意义得出的过程中，引导学生从式子的结构特征，展开数学联想，培养学生的直观想象能力）。

4.学以致用，小试牛刀

例题1：某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率。

（学生自主计算，教师巡视，再通过实物投影仪展示学生的答题情况并加以点评。）