简约自然理念下的数学教学①——以“直线的倾斜角与斜率”为例

王神华 邱 琳

(1.福建省宁德第一中学 352100，2.福建宁德市民族中学 355000)

无论是从数学知识的本身形态，还是从数学产生和发展来看，简约与自然是数学的两个重要特征，由此数学教学须遵循简约自然原则.但新课程改革实施以来，由于受到功利性教育的影响以及社会“跟风”现象日益严重，很多教师热衷于课堂的繁华与花哨，忽略了数学及其教学过程的简约性和自然性，导致课堂教学目标、教学素材、教学环节繁且乱，知识呈现、问题产生、方法形成不自然，与简约、自然的课堂渐行渐远，严重影响了课堂教学效率.从有利于数学教育教学长远发展的角度，我们呼唤数学课堂回归简约自然本色.基于这一原因，笔者以普通高中课程标准实验教科书(人教A版)为载体进行了多次简约自然理念下的教学尝试，本文展现的是“直线的倾斜角与斜率”的教学过程，愿能引起广大读者的思考与共鸣.

1 简约自然的教学理念

前苏联教育家巴班斯基的最优化教学理论中指出：无论是教学设计、教学内容的选择还是教学策略、教学评价的实施都把简约化作为一项重要原则来指导教学.用“简约”理念来指导数学教学，就是对教学中的目标确定、素材选择、环节安排等教学要素的精确把握和经济妙用，使整个课堂教学过程简洁、清晰、深刻，不仅表现在形式上简洁与明了，更能高效地完成教学任务、达成教学目标.具体表现为教学目标简明、教学环节简化、教学素材简略、教学语言简洁等.

夸美纽斯在《大教学论》中提出了教育应遵循自然规律的观点，其含义是指教育要遵循自然秩序和依据学生的认知规律.用“自然”理念来指导数学教学，有如下两层意思:从数学角度看.教学要合乎数学知识本身的逻辑结构与发展规律,即数学概念产生、数学问题提出与解决是数学知识逻辑发展所自然产生的，或者是学生在学习中能自然感悟到的；从学生角度看,教学要合乎他们的认知规律和思维特点，即数学概念产生、数学问题提出与解决是基于他们原有的数学认知结构,是他们原有数学认知结构的自然发展与完善.具体表现为知识呈现是自然的、问题产生是自然的、方法形成是自然的、环节过渡要自然的等，使学生在不知不觉中完成了学习任务、养成了数学素养.

2 简约自然理念下的数学教学案例分析

2.1 从简约自然的角度分析教材

对于“直线的倾斜角和斜率”(人教A版必修4)的教学，从教学目标简明角度看，本节课的目标是理解倾斜角的定义及斜率的定义，领悟直线上任意两点的坐标、直线的倾斜角、直线的斜率三者之间的关系；从教学素材简略的角度看，教材中用“坡度比”引出斜率的定义显得杂乱且多余，可以不用；从教学环节简化的角度看，斜率的定义环节和已知两点求直线的斜率环节可以整合.从知识呈现自然的角度看，课堂教学要立足于解决为什么把x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角定义为倾斜角，以及为什么把一条直线的倾斜角α的正切值定义为直线的斜率；从问题产生自然来看，直线上的一个点以及它的倾斜角可以确定一条直线，两个点也可以确定直线，要探究的问题就是直线上任意两点的坐标与直线的倾斜角α有何关系；从方法形成自然的角度看，已知直线上的一点和直线的斜率如何画出直线，自然要转化为用两点画直线或一点及倾斜角画直线.

2.2 倾斜角的定义过程

人教A版必修2第82页：容易看出，它们的倾斜程度不同，怎样描述直线的倾斜程度呢？从而提出如下问题.

问题1以x轴为“基准”，当直线l与x轴相交时成四个角，我们用其中的那个角表示直线的倾斜程度比较好呢？

意图让学生从坐标轴的“基准”作用出发思考问题、做出选择，初步树立应用坐标系解决问题的意识.

活动预设学生可能会联想两条相交直线所成角的概念，用直线l与x轴所成的角(是一个不大于90°的角)表示直线l的倾斜程度.

问题2已知直线过点P(1,0),且与x轴所成的角是45°,请画出满足条件的直线.

意图通过学生亲自操作,体会用直线l与x轴所成的角表示直线的“倾斜程度”是不合适的,至少是不完善的,有改进的空间.

活动预设学生画图后发现满足条件的直线不唯一.

图1

图2

一般地，过一点P与x轴成α(α≠90°)的直线有两条，在学生活动基础上,教师进行启发性讲解：坐标系是由原点重合的两条相互垂直的数轴构成的，数轴有方向,所以在上述选择时要注意发挥方向的作用.以x轴的正向为基准作为角的一边,以直线在x轴上方的部分作为角的另一边，用角∠XPA表示直线的“倾斜程度”(如图1).至此，直线的倾斜角的定义呼之欲出.

从倾斜角的定义过程看，知识的呈现是自然的，没有强加于学生，而且 “问题提出”、“学生活动”、“教师讲解”等教学环节都能恰到好处地发挥作用，真正做到目标简明、环节简化，提高了课堂效率.

2.3 斜率的定义过程

人教A版必修2第83页：如果我们使用“倾斜角”这个概念，那么这里的“坡度比”实际就是“倾斜角α的正切”.我们把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.为什么用坡度比引出直线斜率的定义，若直线的倾斜角α为钝角，此时的“坡度比”是不是“倾斜角α的正切”呢？显得突然不自然、杂乱且多余.从追求简约自然的课堂教学的维度来看，可以在探索“直线上任意两点的坐标”与“直线的倾斜角α”关系的过程中引出斜率的定义.

图3

意图从简单而具体的特例入手，发现两种“确定直线的几何要素”之间有密切联系.

活动预设学生结合平面几何与初中所学的三角函数的有关知识，得到直线AB、AC、AD的倾斜角分别45°、60°、135°.

问题4由问题3的解决过程可以看出，已知直线上两点的坐标可以确定直线的倾斜角，那么直线上的任意两点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)与直线的倾斜角α有何联系呢？

意图将特殊问题一般化，在寻找直线上“任意两点的坐标”与“倾斜角”的数量关系的过程中发现变化中的不变量(tanα)，自然引进斜率的概念,让学生经历“从几何到代数”的转化过程，体验从特殊到一般的思想，理解直线斜率的本质.

问题5已知A(1,0),直线l1、l2、l3都经过A点，且斜率分别为1、-1、2，画出直线l1、l2、l3.

意图让学生再次感悟斜率是联系“直线上任意两点的坐标”与“倾斜角α”的桥梁，可将其转化为“直线上的两点”或“一点和倾斜角”来画直线.

活动预设当直线的斜率为1、-1时，学生依据斜率公式找出直线上除A点外的其它一点，然后由两点画出直线，或由一点及倾斜角画出直线.但直线的斜率为2时，倾斜角不是特殊角，此时只能通过找点画直线.

从直线斜率的定义过程来看，问题3、4从知识的联系中自然产生，在问题的解决过程中使斜率的定义自然出现.同时将教材中“坡度比”略去，把直线斜率的定义过程与探索“直线上任意两点的坐标”与“直线的倾斜角α”关系的过程融为一体，让斜率的坐标计算公式成为这个过程的一个自然结果，真正做到教学素材简略、教学环节简化.问题5是教材例题的改编，不仅简化了教学的例题环节，而且使各环节之间过渡自然、方法形成自然.这些都促进了课堂效率的提高.

3 反思与提升

3.1 明确“教什么”

教学目标是一节课的灵魂与统帅，课堂教学任务都是围绕着教学目标展开的，有些数学课堂教学拖沓冗长，不够简约自然，源于教学目标不够明晰，教学任务繁重且目的性不强.简约自然理念下的数学教学必须依据明晰的教学目标安排教学任务，即明确“教什么”，首先要认真研读教材及教学大纲，把握好数学教学内容的整体性和联系性，对每一章、每一节课的内容地位要有较深入的分析，明确课程学习目标、课堂教学目标；然后依据目标科学合理地安排课堂教学任务，同时思考这些教学任务能否真正达成教学目标，让每一个教学任务恰到好处、简约自然.比如“直线的倾斜角和斜率”这节课，问题1、问题2是为理解倾斜角设计的，问题3、问题4是为理解斜率设计的，而问题5让学生再次领悟直线斜率、直线上任意两点的坐标、直线的倾斜角三者关系，教学任务的目的性很强，整个教学过程显得简约自然.当然一节课的教学目标有主有次，教师要依据主要目标安排简明的教学任务，切不可主次不分致使教学任务杂乱.

3.2 明确“用什么教”

教学素材是教学内容的载体，课堂教学不简约自然，有时是由教学素材造成的，比如过程性材料过于复杂、素材与教学内容匹配度不高、例题的设置繁难，课堂练习不够精炼等.简约自然理念下的数学教学必须提炼优质的教学素材，即明确“用什么教”，要从传统的“教教材”向“用教材教”转变，依据教材中的教学内容，提炼简约、自然、有效的教学素材，包括引导性材料、教学情境设计、问题设置、例题选择等，能用一个素材完成教学任务的绝不用两个素材，让每一个教学素材都能精准地服务于教学目标、教学任务；适当改造教学素材，在不改变教学素材背景的前提下变换其蕴含的内容与思想，节省学生熟悉素材的时间，做到一“材”多用.比如“直线的倾斜角和斜率”这节课，用“坡度比”引出“直线的斜率”，显得突然且杂乱，因此教学中没有采用这个素材，转而通过探索“直线上任意两点的坐标”与“直线的倾斜角α”关系引出斜率的定义.

3.3 明确“怎么教”

课堂教学由很多教学环节组成，比如知识引入、提出问题、自主探究(或交流讨论)、解决问题、归纳反思等，不同的课型有不同的教学环节，课堂教学的有效实施， 离不开教学环节的合理选取和恰当应用，繁琐复杂的教学环节浪费了课堂教学时间，直接影响到一节课的教学节奏，与简约自然的数学教学格格不入.简约自然理念下的数学教学，必须综合考虑教学任务、内容特点以及学情，科学合理地拟定教学环节，让每一个教学环节都发挥其价值与功用，即明确“怎么教”.要充分考虑问题提出、学生思考、师生交流、教师讲解等教学环节的实效性，略去低效、无效或重复的教学环节，甚至对交叉的教学环节进行整合，让每个教学环节简约出现、高效使用；要对每个教学环节所花的时间进行合理调整，真正做到用时简约得当；切实设计环节与环节之间的过渡语言，让环节之间的过渡显得自然，使由多个环节组成的课堂成为有机的整体.比如“直线的倾斜角和斜率”这节课，把斜率定义的教学环节与探究斜率公式的教学环节进行整合，教学过程简约自然，节省课堂教学时间，提高了课堂教学效率.

当然，“简约”与“自然”都具有其本真性，而不是人为的“简约自然”，切不可追求人为的“简约”而省去一些重要的教学任务，舍去一些优质的教学素材，略去一些关键的教学环节；也不可追求人为的“自然”而生搬硬套、矫情造作； 更不可过度地追求形式化的“简约自然”，从而丢失知识本质、课堂本真.