关于型函数方程的求解研究

周德春

(江苏省射阳中学 224300)

而g(g(x))=x恒成立，

所以(c2+ad)x+cd+bd

=(ac+ab)x2+(ad+b2)x恒成立，

又由于(☆)式左端的分母不为0，

由于ac+ab=cd+bd⟺ac+ab-cd-bd=0

⟺(b+c)(a-d)=0.

于是当b=-c时,显然②成立，

当b≠-c时，为了满足②，则a=d=0，

综上所述有，b+c=0且ad-bc≠0．

而g(g(g(x)))=x恒成立，

=x(※)恒成立，

所以(c3+2acd+abd)x+c2d+ad2+bcd+b2d

=(ac2+abc+a2d+ab2)x2+(acd+2abd+b3)x恒成立，

又由于(※)式左端的分母不能为0，所以有

由于②ac2+abc+a2d+ab2

=c2d+ad2+bcd+b2d=0

于是当a=0时，由①得b=c≠0，再根据②得d=0，所以g(x)=x(舍去).

当d=0时，由①得b=c≠0，再根据②得a=0，所以g(x)=x(舍去).

当b2+c2+bc+ad=0时，显然②是成立的；

而为了考察此时④是否成立，则考察

此式已经成立，所以④成立.

综上所述b2+c2+bc+ad=0且ad-bc≠0．

g(g(g(g(x))))=x，

那么b2+c2+2ad=0且ad-bc≠0.

证明令g(g(x))=k(x)，

则由g(g(g(g(x))))=x可得k(k(x))=x.

因为g(g(x))=x除外，所以k(x)=x除外.

这样根据定理1知道，

于是由g(g(x))=k(x)可得

(注：容易验证此式中隐含着b+c≠0).

综上所述，b2+c2+2ad=0且ad-bc≠0.

为了帮助大家更清楚地理解题3中的迭代规律，这里给出一个函数列：

(k∈N).

由此可知，{gn(x)}是一个周期为4的函数列，而且题3中的g(x)是此函数列中的第1个函数，所以迭代次数是3；同时根据这个周期函数列，还可以编制下列同类题目：

利用定理1或定理2的结论可证明该定理(证明过程略).

同前面一样，为了帮助大家更清楚地理解题1、题2和题4中的迭代规律，这里也给出一个函数列：

由此可知，{gn(x)}是一个周期为6的函数列，而且题1、题2和题4中的g(x)分别是此函数列中的第3、第2和第1个函数，所以它们的迭代次数分别是1、2和5；同时根据这个周期函数列，还可以编制下列同类题目：