转换问题视角，拓展思维的广度和深度

唐志忠

(江苏省常熟市中学 215500)

“山穷水复疑无路，柳暗花明又一村”是指在前进道路上遇到重大挫折，甚至陷入绝境时，只要有新的发现，就会迎来巨大转折，甚至出现新的奇迹.在生活中，如果矛盾的双方能换位思考，即从对方的立场来思考，那么矛盾就会迎刃而解.在高中数学教学中，也会出现类似问题.如某个问题比较繁复而难以解答时，若能适时转换视角，重新审视问题，问题往往会迎刃而解，这就是转换视角的益处.

思维的广度和深度是思维的两个重要特性.培养学生思维的广度要强化一题多解,重视一题多变.训练学生思维的深度,要培养学生追根溯源的习惯,并注重知识的系统性.本文通过案例谈谈转换视角拓展思维方向、广度和深度的方法，望对读者起抛砖引玉的作用.

1 从参变量的地位着手，展现思维的广度

案例1设不等式mx2-2x-m+1<0对任意的m∈[-2,2]都成立，求x的取值范围.

本题提供了四种解法，从中可以看出交换参变量的优势所在.

方法1 分类讨论

学生做到这里,往往不知道如何找到同时属于上述三个集合的x的取值范围.

方法2 变量分离

原不等式可化为m(x2-1)<2x-1.

当x=1时不等式恒成立；当x=-1时不等式不成立.

方法3 数形结合

方法4 交换参变量的位置，把m看作主元

上述四种方法中，学生往往首选方法1，但此法计算比较复杂，且容易考虑不全面；方法2同样是变量分离后进行分类讨论，比方法1简单一些；方法3对思维要求比较高；而方法4通过转换参变量的地位，拓展思维的广度，达到了节省时间、化繁为简的目的.通过比较四种方法，学生普遍觉得方法4最好：通过视角的转化，丰富了知识，开阔了视野.

2 从问题的对立面着手，体现思维的方向

3 从问题的数学本质视角着手，拓展思维的深度

案例3(江苏省2017高考第20题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点(极值点是函数取极值时对应的自变量的值).

解析 (1)(2)略.

“转换视角天地宽”，转换数学问题的视角能让学生从不同角度探究问题，能够加深学生对问题本质的认识、拓展思维方向、拓宽思维广度、拓深思维深度，对培养学生逻辑推理素养、形成灵活应用知识解决问题的能力、培养学生的创造力具有重要的意义.