渗透函数思想 探究导数双零点问题*

高 军

(广东省深圳市高级中学 518040)

函数思想是中学数学的基本思想之一，是用运动和变化的观点分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题转化问题，从而使问题获得解决的一种重要数学思想，它贯穿于整个中学数学的教学与研究中. 导数中的双零点问题是各类型考试中的热点题型，尤其是这样一类问题：已知含有ex或lnx的函数f(x)，且存在x1，x2，x1≠x2，满足f(x1)=f(x2)，证明有关x1与x2的不等式或求某个参数的取值范围，这类问题倍受命题人的青睐. 本文以一道双零点导数问题为例，渗透函数思想，探究此类问题的解题方法与策略，与读者交流.

1 问题呈现，解法探究

问题呈现 已知f(x)=ex-ax+a，若f(x)的图象与x轴交于两点(x1,0)，(x2,0) (x1

(1)求实数a的取值范围；

(2)求证：x1x2

解法探究 (1)实数a的取值范围为(e2,+∞)(过程略).

(2)先证明不等式x1x2

思路1 重组设元，整体构造，渗透函数思想

解由题意,ex1=ax1-a①，ex2=ax2-a②.

①×②,得ex1+x2=a2(x1-1)(x2-1)=a2(x1x2-x1-x2+1).

①-②,得ex1-ex2=a(x1-x2).

构造函数h(t)=et-e-t-2t.h′(t)=et+e-t- 2≥0，所以h(t)在(-∞，0)上单调递增，所以h(t)

思路2 根据形式，类比构造，渗透函数思想

解由题意，得ex1=ax1-a，ex2=ax2-a，两式两边取对数,得x1=ln(x1-1)+lna①，x2=ln(x2-1)+lna②.

思路3 结合图形，巧妙构造，渗透函数思想

由于x1x2

图1

思路4 消参换元，主元构造，渗透函数思想

故m′(t)在(0，1)上单调递增，从而m′(t)

从而m(t)>m(1)=0，因而g′(t)<0，g(t)在(0，1)上单调递减.

评注消去参数a，引入中间变量t，用变量t表示x1，x2，结论中的二元不等式变为以t为主元的一元不等式，构造相应函数，研究函数单调性，用洛必达法则让问题得到解决.

下面证明：x1+x2<2lna.

分析 由题意，得ex1=ax1-a，ex2=ax2-a，两式两边取对数得,x1=ln(x1-1)+lna①，x2=ln(x2-1)+lna②.由①+②得x1+x2=ln(x1-1)(x2-1)+2lna.

要证x1+x2<2lna，只需证ln(x1-1)(x2- 1)<0，即证x1x2

思路5 极值偏移，对称构造，渗透函数思想

解f′(x)=ex-a，若a≤0，则f′(x)>0，故f(x)在R上单调递增，不合题意.

若a>0，由f′(x)>0得x>lna，由f′(x)<0得x

若f(x)有两个零点，则f(lna)=eln a-alna+a<0，故a>e2且x1f(2lna-x2).

2 归纳总结，反思感悟

(1)含有双变量且有参数的双零点问题，综合性强、难度大，问题的切入角度广泛，学生较难掌握.解决该类问题的主要思路是将条件和结论进行适当变形与转化，结合具体的结构形式与特点构造新函数，将双变量问题转化为单变量的函数问题来解决.

(2)数学思想是数学的灵魂与精髓，是知识转化为能力的桥梁和纽带.在解决导数的双零点问题中，每种思路方法都渗透着函数思想，体现了函数思想在解题中的重要作用.在平时教学过程中，教师要有意识、有目的地在教学中渗透数学思想，这有利于提高学生分析问题解决问题的能力，有利于提升学生的数学学科核心素养.

(3)素养导向的高考命题注重科学探究能力的考查，有必要研究开发探究型、开放型试题，发挥各种题型的组合功能，拓展学生思维空间.注重一题多解、一题多法，拓宽学生的解题思路，引领学生多角度自主探究，促使学生熟练掌握多种数学方法，提升数学解题技能与课堂效益，激发学生学习潜力.

3 借石攻玉，变式探究

下面是问题的变式题，读者不妨借用上述不同的解决问题思路试一试.

变式1 已知f(x)=ex-ax，若f(x)的图象与x轴交于两点(x1,0)，(x2,0)，(x12.

变式2 已知函数f(x)=lnx-ax有两个不同零点x1,x2，求证：x1x2>e2.

变式3 已知函数f(x)=(lnx-k-1)x，若x1

变式4 (2016年新课标Ⅰ卷理21题改编)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有两个不同零点x1,x2，求证：x1+x2<2.