信达雅：命制试题的理想状态

张 涛 夏 威

(江苏省无锡外国语学校 214000)

清末启蒙思想家严复认为：“译事三难：信、达、雅”，提出了翻译作品的评价标准.笔者认为，“信、达、雅”不仅适用于评价翻译作品，也适用于评价数学试题.下面结合几个案例，谈谈“信、达、雅”在试题评价上的内涵.

1 信

信者，真也.“信”的试题要科学真实、准确严谨，这是命题者应该恪守的底线.

例1已知m>0，n>0，5m=50，5n=2，(5m)n=125.(1)求m-n的值；(2)求2m+n的值．

例1主要考查幂的运算，命题者预设的解法如下：由题意，5m-n=25，则m-n=2.又5mn=125，则mn=3，(m+n)2=(m-n)2+4mn=16，m+n=4，于是2m+n=16.

不同方法为何得出不同答案？原来题目的条件是互斥的.由5n=2，得n=log52，于是n<1；另一方面，由50n=125，得n=log50125，于是n>1.事实上，“5m=50，5n=2”就已确定了m,n的值，不能再对(5m)n随意赋值.

例1这类错题不仅影响考试的考查效果，更不利于科学精神、创新精神的培养.科学性是试题的生命线，是命制试题必须遵守的重要原则.试题的科学性指试题不存在逻辑错误，不自相矛盾，不违背基本概念和规律.这就要求命题者要小心谨慎，仔细推敲.命制代数试题要反复验算，多次论证，不可随意赋值;命制几何试题要关注数据与图形的一致性.因随意设置数据导致的几何错题也屡见不鲜，文[1]中作了剖析，这里不再赘述.

图1

例2本身没有科学性错误，但条件表述不严谨.一方面，根据条件中的“如图”，似乎只要考虑Q在D左侧的情况，答案应是一解;另一方面，P的位置是不确定的，Q的位置也随之变化，Q可能落到D的右侧(如图2)，答案应是两解.两种观点都有道理，学生和教师不免纠结.不妨将“P是y轴的正半轴上一点”改为“P是y轴正半轴上一个动点”，再隐去图形中的P,Q两点(如图3).

图2 图3

如果试题命制不严谨，就会出现不同理解，引发争议.因此，命制试题要字斟句酌，准确严谨，以避免争议.试题的文字部分要表述清晰，没有歧义，给出的图形要比例准确，图文相符.

2 达

达者，至也.“达”的试题要紧扣题型特点，符合课标要求，能有效检测学生的知识水平或思维品质，完成预期的评价目标.

例3如图4，△ABC中，∠C=90°，D是BC边上一点，∠ADC=3∠BAD，BD=8，DC=7，则AB的值为( ).

图4

A.15 B.20

例3考查倍角关系，题干简洁，富有新意,难度较大.然而，考生即使不知道AB的求法，也能通过“AB>BC”得到答案B，试题就失去了区分和选拔的功能.将本题改作填空的压轴题，可以起到更好的考查效果.

命制试题要考虑题型特点，保证试题的信度和效度，尤其是选择、填空这类客观题，只要求结果不要求过程，所以时常发生试题不能检测出学生真实水平的情况.因此,在命制客观题时不能因为题小而随意.命制选择题时要使错误选项具有干扰性，把学生可能出现的典型错误作为备选选项，使测试结果具有诊断性.命制填空题时要注意数据设置宜简不宜繁，以考查学生数学知识或思想方法为主.对于只能逐一检验的客观题(如：下列结论正确的是)，不宜设置过多的备选结论，导致试题思维量过大.

例4如图5，从一个边长为4米的菱形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形.(1)求这个扇形的面积(结果保留π)；(2)在剩下的一块余料中，能否剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由.

图5

例4主要考查圆中的相关计算，问题背景是圆与圆相切，而在新的课程标准中“圆与圆的位置关系”已被删去，这样的试题显然不符合课标要求.对于没有学习过相关内容的考生来说，此题也违背了公平性原则，难以达到预期的考查目标.

命制试题要坚持落实课程标准的要求.圆与圆的位置关系、有效数字、分母有理化、图形的镶嵌等内容已从课标中删去，命题时要注意避开. 例4这类超“标”试题不仅信度和效度较低，更会引起教师的纠结：课标删去的内容到底讲不讲？要让学生掌握到何种程度？这样的教学导向有悖于新课标理念，可能加重学生的负担.

3 雅

雅者，美也.“雅”的试题外形美观、结构美好，秀外慧中，带给人美的享受，这是命制试题的更高境界.

例5某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都有人住且每户均按时全额缴纳物管费．

(1)该小区每月可收取物管费90 000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？

例5是一元二次方程的应用题，对数学建模、数学运算等核心素养进行考查.本题约400字，文字偏多、信息量大，会对学生造成较大的心理压力.根据题意列出的方程也相当繁杂，令人望而生畏.过多的文字、过于复杂的方程不仅偏离了数学学科考查的主旨，也会给学生留下数学繁难冗长、枯燥乏味的印象.

考查学生阅读材料、提取信息等能力本无可厚非，但应当把握好度.如果学生经常做类似例5的试题，如何能感受到数学的美呢？所以命制试题时，要避免出现过多的文字、过于繁难的算式、过于复杂的图形.其实数学本身是和谐统一、简洁美好的.表述流畅、图形简洁的试题恰似出水芙蓉，清新天然，美丽动人.命制简洁美观的试题，也是引导学生感受和欣赏数学美的一种途径.

例6在平行四边形ABCD中，AB=4， ∠B=60°，边CD可左右平移，点E为CD边的中点.点P为BC上的一个动点，将△ABP沿着AP翻折，得△AB′P.

(1)如图6，若B′恰好与E重合，求此时AD的长；

图6 图7

(3)若AD=3，动点M从点C出发沿着边CD

运动到点D的整个过程中，使得对于同一个度数的∠AMB，点M有且只有一个位置与之对应，直接写出这样的点M对应的∠AMB正弦值的取值范围.

案例6作为压轴题，简约而不简单，承载了区分选拔的功能.第(1)问考查解三角形，第(2)问考查相似三角形，第(3)问求取值范围，三个小问梯度合理，层次分明.从三小问中拿出任意一问都是不错的试题,任意删去一问或者改变小问的排列顺序，也不影响解题.就是说，各个小问相互独立，缺乏内在关联，给人以割裂之感.

在命制试题时，除了要追求试题外在的美感，还要关注试题的内秀，即试题应该结构完整、生长自然.尤其是命制综合题时，要关注各小问在求解思路或相关信息上的递进和呼应，不宜毫无关联，东拼西凑.

4 结语

“信、达、雅”从内容和形式两个方面对试题命制提出了要求.信，即准确严谨;达，即完成目标;雅，即美丽自然.这三者既相互独立又相辅相成.信是基础，信则能用;达是关键，达则有用;雅是追求，雅则好用.数学教师在命制试题时，既应关注试题内容的科学有效，又要追求试题形式的至善至美，以期达到“信、达、雅”的理想命题状态.