含参变量的拉普拉斯逆变换及其应用

符云锦

（凤凰县两林学区，湖南凤凰 416211）

1 背景知识

文〔1〕给出了含参变量的拉普拉斯变换的定义如下。

定义 设函数f(t)在区间[λ,+∞]上有定义，如果含参变量s,λ的无穷积分对s的某一取值范围是收敛的，则称无穷积分

为函数f(t)的含参变量λ的拉普拉斯变换。f(t)称为原函数，称为象函数，并记作。同时，含参变量λ的拉普拉斯的逆变换记作

要注意的是在（1）式中，参数λ和变量s均可以为复数。同时，文〔1〕中还给出了含参变量的拉普拉斯变换的存在性和基本性质，利用含参变量的拉普拉斯变换导出了一些常用函数的含参变量λ的拉普拉斯变换表达式。本文对含参变量的拉普拉斯变换的逆变换进行了研讨，得出其唯一性和相关性质，并举例说明其应用。

2 含参变量λ的拉普拉斯逆变换的性质

与拉普拉斯逆变换〔2-4〕一样，含参变量的拉普拉斯逆变换同样具有相应的性质。

性质1（唯一性定理）若给定一个关于s，λ的函数F(s,λ)，则存在唯一的函数f(t)使得

其中f(t)满足文〔1〕中性质1的条件。

证明:用假设法。假设存在两个满足文〔1〕中性质1的条件的不同函数f1(t)，f2(t)都是函数F(s,λ)含参变量λ的拉普拉斯逆变换的原函数，即：

则，根据定义，有：

把上两式作差，利用含参变量的拉普拉斯变换的线性性质，得

性质2 （线性性质）若L[f1(t),λ]=F1(s,λ)，L[f2(t),λ]=F2(s,λ)，则

其中α，β是常数。

性质3（位移性质）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，则

其中Res(s)＞a。

性质4（延迟性质）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，则

其中t＞Res(a)。

性质5（积分性质）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，则

性质6 （象函数的微分性质）若L[f(t),λ]=F(s,λ)，则

特别地，n=1时，L-1[F'(s,1)]=-tL-1[F(s,1)]。

性质8（卷积性质）若L[f(t)]=F(s,λ)，L[g(t)]=G(s,λ)，则

3 含参变量λ的拉普拉斯逆变换的应用

含参变量的拉普拉斯逆变换的计算，可以参照拉普拉斯变换〔5-12〕的计算方法。但要注意的是，在查表时，要根据参变量λ的值而定，题中给定参变量λ的值，在表中要取相应的参变量的值来分解象函数F(s,λ)，从而求得原函数f(t)的表达式。

例1 求象函数

在参变量λ=1的原函数f(t)。

解：根据拉普拉斯逆变换性质，可得原函数为f(t)=δ(t)+2。

例2 求象函数

在参变量λ=-1的原函数f(t)。

所以，由位移性质，可得原函数为f(t)=t+te2t。

例3 求象函数

在参变量λ=-2的原函数f(t)。

从而可得原函数为f(t)=sin(-t)。

例4 求象函数

在参变量λ=α的原函数f(t)。

解：因为

根据线性性质，可得原函数为f(t)=t+1。

例5 求象函数

在参变量λ=3的原函数f(t)。

例6 求象函数

根据线性性质，可得原函数为f(t)=3t+e×e3t=3t+e3t+1。

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