中美初中“圆”内容比较研究——以浙教版、人教版、美国GMH教材为例

叶立军 戚方柔

(杭州师范大学经亨颐教师教育学院 311121) (杭州师范大学理学院 311121)

1 问题的提出

教材作为教学活动的主要用书[1]，系统反映了学科内容，利于数学课程目标的实现．数学教材比较成为当今数学教育研究的热点问题之一．

“几何”是初中数学中重要的教学内容之一，研究空间结构及其性质．“圆”作为几何体系中不可或缺的部分，其有关知识在中美教材中占据了较大的比重，且两国编写教材时均对其逻辑性进行了严密的分析．本文基于“圆”教材内容，通过宏观和微观两个角度对两国教材进行比较，探究两国几何教材的异同点，以期为我国初中数学课程改革提供参考．

2 研究对象

我们选择了浙江教育出版社出版的初中数学义务教育教科书(以下简称浙教版)、人民教育出版社出版的初中数学义务教育教科书(以下简称人教版)和美国Glencoe McGraw-Hill出版社出版的初中数学教科书(以下简称美国GMH教材)这三种教材作为研究对象，采用比较法和文献研究法，分别从宏观与微观两个角度，对三种教材中“圆”的内容进行定性、定量的分析与比较．

3 宏观比较

3.1 背景信息比较

我们分别从章名称、所属教科书、出版社、内容页数和教材总页数等背景信息，对三种教材中“圆”的内容进行比较，得到表1．

由表1，浙教版和人教版都将与圆有关的内容安排在九年级，并分散在两章，浙教版将直线与圆的位置关系放在九年级下册进行学习，人教版则将所有内容放在九年级上册；而美国GMH教材则将圆安排在八年级．

表1 圆内容背景信息比较

3.2 章节编排顺序比较

将三种教材中的圆内容按章节编排顺序进行比较，结果如表2所示．

表2 圆内容编排顺序比较

由表2，浙教版和人教版按图形的旋转、圆的性质、直线与圆的位置关系的顺序进行学习，浙教版将图形的旋转和圆的基本性质归为一章，直线与圆的位置关系在下一章中；人教版则将旋转安排为单独一章．美国GMH教材先安排了圆周长、角度、弧度、弧、弦和切线等基础知识，进而学习圆的基本性质，并根据性质做适当拓展，最后将圆的方程安排在章末进行学习，而关于多边形和扇形等内容，教材则单独安排在下一章中．

3.3 核心知识点所占比重比较

根据圆有关知识点较多的特点，我们对三版教材中的核心知识点进行宏观比较．核心知识点所占的比重主要指核心知识点所包含的节数、页码数分别占整章内容的节数和页码数的比重，统计结果如表3．

表3 核心知识点所占比重比较

由表3，三版教材的节数基本相同，但美国GMH教材的节比重和页码比重较少．从页码数来看，人教版的页码数最少，而浙教版的体例篇幅相对较长．

4 微观比较

4.1 知识呈现方式比较

我们对知识点呈现方式进行的分类见表4．

表4 知识点呈现方式

根据表4的知识点呈现方式比较模型[2]，我们选取圆心角定理和弧长公式的呈现方式进行比较，得到表5、表6．

由表5，在知识导入方面，浙教版和美国GMH教材选用了生活中的圆心角例子，让学生产生直观感受，可见两版本教材都较注重联系生活背景；在知识体验和知识讲解上，浙教版和人教版设计了类似的活动，引导学生自主发现圆心角、弧、弦之间的关系，从中可以看出两版本教材对学生“自主探究、发现猜想、验证结论”的重视，而美国GMH教材则直接给出定义，缺少了理解性的体验；在知识表征上，三版教材均用了文字语言，所不同的是，美国GMH教材增加了具体的图形例子帮助理解，并强调了弧、弦等数学语言的写法，可见其对数学规范的关注；最后，在知识应用和知识拓展方面，浙教版、人教版选取了一些难度适中而有所延伸的题目，美国GMH教材则偏向于对定理的直接应用．

由表6，在知识导入方面，浙教版采用生活情境导入，人教版未做安排，美国GMH教材采用复习 引入的方式，可以看出其对知识连贯性的重视；在知识体验和知识讲解方面，浙教版和人教版均由圆的周长公式推导得出弧长公式，美国GMH教材直接利用弧与角度的比例关系变形而得，说明两国教材都较注重以已学知识为基础来探究新知；在知识应用和知识拓展方面，浙教版、人教版更重视与生活的联系和应用，而美国GMH教材选取了大量的几何例子以掌握基础，可见两国教材在习题难度和理念上的差异．最后，三版教材在此节中都没有进行相关延伸．

表5 圆心角定理的呈现方式比较

表5 圆心角定理的呈现方式比较(续)

表6 弧长公式的呈现方式比较

4.2 知识背景比较

根据表7的知识背景分类，比较三版教材中圆的有关知识点和例习题的知识背景，结果如表8．

表7 知识背景分类

表8 知识背景的比较

由表8可得到图1，图中显示三版教材均涉及生活背景、数学背景和少量的文化背景，可以看出三版教材对数学文化价值的逐渐关注，不同的是人教版和美国GMH教材还涉及了科学背景，表明两版教材对跨学科综合价值的重视[3]．从具体数值上可以看到，数学背景所占比重最大，其次是生活背景，且美国GMH教材的数学背景是三版教材中数值最高的．

图1 知识背景比较图

4.3 核心知识点目标水平比较

根据我国和美国的课程标准以及数学教育标准等，我们将每一个核心知识点的目标水平分为：了解、理解、掌握与运用，并赋权重取值为1,2,3．为研究核心知识目标水平的深度，我们利用以下公式进行深度量化：

其中，hi(i=1,2,3)依次表示了解、理解、掌握与运用的水平深度，取值为1,2,3；ni表示hi目标水平的知识点的个数，n表示核心知识点总数．

由于人教版和浙教版均根据《义务教育数学课程标准(2011年版)》编排知识内容，因此两者的知识目标水平相同[4]．我们不妨将两者结合，分别从中国和美国角度对教材的核心知识点目标水平进行比较，统计结果如表9．

表9 核心知识点目标水平比较

由表9，两国教材中与圆有关的核心知识点数量基本一致，在三个目标水平中，“掌握和运用”一项要求最多；不同点在于美国GMH教材在“了解”“理解”上的要求都高于浙教版和人教版，但在总体难度上低于该两版教材．单看每个国家教材本身的目标水平百分比，中国两版教材的“理解”“掌握和运用”水平相差较大，而美国教材在这两方面的水平相差较小，可以看出美国GMH教材更注重学生对圆相关知识的理解．

4.4 例习题综合难度比较

选取“圆心角”和“圆周角”这两个极具代表性的章节内容，引入鲍建生课程综合难度比较模型[5]，对三版教材中相应的例习题综合难度进行比较．首先对该部分几何内容的例习题总数进行统计，得到表10．

表10 例习题数量统计

由表10，浙教版例习题数量最多，美国GMH教材紧随其后，人教版相对较少，但三版教材的共同点在于例习题题量一般，需要课外练习进一步加强巩固．同时，我们对每个例习题的水平进行划分，结果如表11．

表11 例习题难度因素统计

根据表11计算出每个难度因素的加权平均，得到表12．

表12 例习题难度因素的加权平均值

根据表12我们绘制了雷达图，得到图2．

图2 例习题难度因素雷达图

从整体看，三版教材中探究和推理的数值最高，而例习题背景的数值最低.可见，三版教材都较注重培养学生的探究能力和推理能力，而对知识背景的关注不够．从单个因素来看，浙教版的探究、运算和推理数值略高于人教版和美国GMH教材，注重学生的推理和运算能力．在背景方面，三版教材都以无背景为主，但美国GMH教材涉及个人生活和公共常识，说明其重视知识与生活的联系．而在知识含量上，美国GMH教材数值最低，例习题以单个知识点和两个知识点为主，更注重基础训练．

5 启示

5.1 丰富教材情境，激发学生学习兴趣

PISA研究表明，情境性是学习的本质属性，脱离实际情境的学习，只能获得“惰性”知识[6]．教材的背景不能局限于数学背景，更要关注生活、文化、科学等背景情境，从生活常识中抽象出几何图形或几何关系，加深学生对知识的印象，提高学生的数学抽象能力．美国GMH教材中的Real-World Link部分，将知识和生活、文化等相联系，学会用数学的眼光看世界．教材编写还可考虑将情境和习题相结合，增加知识的应用性和趣味性．

5.2 设置问题串，引导学生深度思考

美国GMH教材在知识目标上更侧重“了解”和“理解”水平，注重用基本概念进行转化思考和解决问题．从本质上看，数学教学的核心是思维活动，思维活动的集中表现在于提出问题、分析问题和解决问题，在教学的各个环节设置问题是激发学生思维活动的重要切入点．教材在编写时应以实验、旧知、生活等贴近学生认知的素材为起点，采用“小问题，逐推进”的方式，设置一系列问题串，增加学生的理解性体验．在选用低起点、小问题的教学设计前，要注意知识的连贯性和系统性，避免无效地降低难度，造成学生思维的脱节．

5.3 重视课程内容的适度拓展，满足学生个性化发展需要

实践表明，适当的拓展有利于教学对象主体化、完善认知结构、改善学习习惯、拓宽学习渠道等，有效落实提高学生核心素养的课程目标．教材可在一些章节最后设置知识延拓，如实验操作、软件验证和设计方案等，注重学科性和实践性的结合，甚至将一些概念、命题设置在课后情境或活动练习中，培养学生的问题意识和逻辑推理能力．对于某一知识点，可考虑构造许多不同形式的习题，做到同点异构，层次分明，加大学生自主发挥的空间．