用累加法解CMO数列试题

胡传虎

(江苏省淮安市范集中学 223215)

近期，笔者针对性阅读与尝试解答了2018年全国高中数学联赛(CMO)各省预赛试题中的数列题，发现有诸多题目可以用到累加法进行求解.

1 对“累加法”的认识

还记得，曾与同事们讨论过“此处是否要检验n=1？”尽管没能达成一致意见，但笔者仍然认为需要进行检验，文献[2]也持有这样的观点.尽管n=1的检验在这里似乎没有产生破坏性，但必须强调的是，在教材中an-an-1=d成立的前提是n≥2，这也符合等差数列的定义.另外，苏教版教材中也进行了检验.

关于累加法，在不同文献中又有其他叫法.有称“累差法”的，大概是因为“当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)”中出现了n-1个作差的结构；也有称“叠加法”的，从相关文献给出的定义来看与“累加法”是一致的，如“将一系列等式左右两边分别相加的解题方法叫叠加法……值得一提的是，一系列同向不等式亦可叠加”[3].

2 用累加法解CMO数列试题

本文例举2018年全国高中数学联赛(CMO)各省预赛试题中的数列题，并试论如何构造出恰当的结构去使用累加法.

2.1 用累加法求数列的通项公式与前n项和

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)求数列{an}的前n项和Sn.

例3(福建)已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn-nan=n，n∈N*，且a2=3.

2017年CMO江西省预赛中，有一道题与例3第(2)问相似，感兴趣的读者可以尝试做一下：

2.2 用累加法证明数列不等式

(1)求数列{an}的通项公式；

例5(黑龙江)已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

2018年CMO贵州省预赛中，有一道题可以试做一下：

2018年CMO广东省预赛中，有一道题可以试做一下：

本文仅选择几道CMO数列试题去使用累加法，不足不到之处，还请大家不吝赐教.