一个活跃在高考中的恒等式

张玉虎

(云南省施甸县第一中学 678200)

图1 图2

极化恒等式解决的是共起点两向量的数量积问题，解决的关键是在第三边上取中点，将多变量问题转化为单变量问题，将向量的数量积转化为向量的长度问题.在高考数学中，极化恒等式能将一些涉及向量的数量积问题化繁为简、化难为易，从而使共起点向量的数量积问题得以快捷、高效地解决.

1 用极化恒等式求解数量积的值

解析 如图3，由极化恒等式可得

图3 图4

④《直斋书录解题》可考的最晚撰写年代是理宗淳祐五六年(1245-1246)，但因一直未付梓最后编定成书时间难定。详参武秀成《陈振孙评传》第二章《直斋书录解题》的成书与流传，南京大学出版社2006年版。

2 用极化恒等式求解与数量积有关的最值与范围

图5

A.[2,6) B.[2,6]

图6

图7

3 用极化恒等式求解圆锥曲线问题

A.2 B.3 C.6 D.8

图8

图9

向量是高中数学的重要组成部分，是高中阶段学生必须掌握的重要数学工具之一.其工具性主要体现在它是连接代数与几何的桥梁，在求解数学问题中可以通过引入向量，借助向量的坐标运算与几何运算来解决问题.近几年的高考数学试题越来越重视对向量运用能力的考查，这已经成为高考命题的一个热点，而且在逐步向综合性与灵活性方向提升.极化恒等式来源于教材而高于教材，构建起了向量与几何长度之间的互化通道，实现了向量与几何、代数的之间的巧妙结合，优化了解题方法，值得广大考生去重视和思考.