指向生成的数学单元开篇课教学——以苏科版八年级下册“分式”章头图的教学为例*

任宏章 张 璇

(江苏省南京师范大学苏州实验学校 215100)

苏科版八下第10章“分式”的章头内容占两页，配了两幅图：第1页是一幅求矩形面积图，第2页是一幅火车运行图，图的附近是简洁的文字说明(如 图1)，第2页下方附文字“本章将学习分式、分式的运算以及分式方程”．针对这样的素材，如何组织教学？南师大苏州实验学校初中数学教研组进行了多次“分式”章头图的单元开篇课堂教学实践研究活动，尝试以全面理解和开放思维为教学设计的着力点，课堂指向生成，关注教学过程，不断地留意学生的变化和反应，捕捉偶发的教育契机与智慧火花，并对学生的反应作出积极的回应[1]．先后在校、区、市开设教学研究公开课，并取得了一定成效．

1 教材分析与教学定位

分式是刻画现实世界中数量关系的一类代数式，是“数与代数”部分的重要内容，是继整式之后对代数式的进一步研究．本节课分式章头图的教学建立在小学学过分数与初中学习过一元一次方程的知识基础上.分式与小学学的分数具有相似的形式、类似的性质，因此它们有一致的研究方法和相同的结构思维．基于此，通过数式通性和类比思想来研究分式的相关内容．本节课的教学设计从章头图的 第2个问题开始，通过变式引申生发出教学的各个环节，课堂指向生成、关注过程，问题开放，要求教师能够很好地驾驭课堂．

首先，从章头图的实际生活中抽象出分式模型，感悟分式研究的必要性；其次，从知识结构和研究方法上类比分数，生成研究分式的一般性思考方法；再次，尝试分式运算和解分式方程，初步感悟分式运算规律，并且通过求同存异，初步感悟分式方程的概念和解法，这也为后续的具体学习研究打下一个良好的基础．另外，章头图的教学设计和一般的知识点新授课教学设计不同.平时新授课要求有深入的探究过程，概念细实清晰，还要有相应的练习等．而章头图的教学设计却不需要给出准确的概念和相应的练习，只要初步感悟知识的发生、发展和体系建构．

教学目标：(1)从实际生活中抽象出分式模型，感悟分式研究的必要性；(2)类比联想，形成研究分式的一般性思考方法；(3)尝试分式的运算和解分式方程，初步感悟分式运算法则和解分式方程的方法．教学重点：了解学习分式内容的必要性，整体建构分式全章的内容，感悟研究分式的方法．教学难点：类比分数，初步探究分式的研究方法，渗透转化，形成解分式方程的指导思想．

2 问题设计与片段实录

2.1 提出问题，全面理解，自然生成研究问题的新知体系

·教学片断1——提出问题

(章头图2问题变式)京沪铁路是我国东部沿海地区纵贯南北的交通大动脉，是我国最繁忙的铁路干线之一．

(1)已知全长1 462 km，货车的速度为120 km/h，那么货车从北京到上海需要多少时间？

(2)如果北京到苏州为skm，货车的速度 120 km/h，那么货车从北京到苏州需要多少时间？

(3)已知全长1 462 km，货车的速度akm/h，那么货车从北京到上海需要多少时间？

(4)如果北京到苏州为skm，货车的速度akm/h，那么货车从北京到苏州需要多少时间？

师：列出你认为最简洁的式子来表示各小题的结果！(教师巡视并请4位学生到黑板前把结果写到

对应位置．)

师：请大家观察上面这四个式子，说说看它们有什么共同特征？

生1：分数．

生2：分数形式．

师：分子、分数线、分母，每个式子都是这样的结构特征，所以我们可以把这四个式子都看成是分数？还是分数形式？

生众：分数形式．

师：生2观察得很仔细．(教师在4个式子上方板书：分数形式)继续观察这四个式子，说说看它们有什么不同之处？

生3：第一个式子①的分子分母都不含字母(教师在①后面板书：不含字母)；第二个式子②分子含字母(教师在②后面板书：分子含字母)；第三个式子③的分母含字母(教师在③后面板书：分母含字母)；第四个式子④的分子分母都含字母(教师在④后面板书：都含字母)．

师：再观察这四个式子，哪些式子你以前见过、研究过，说说看？

生4：①是小学学过的分数，分子、分母为正整数，是我们小学研究过的分数．

师：正确．(教师在“①不含字母”后面进一步板书：分数)

师：第二个式子②是分数吗？为什么？

生5：不是，分子不是整数，而是字母．

生5(恍然大悟)：单项式．

师：②就是我们七年级研究过的整式中的单项式．(教师在“②分子含字母”后面板书：整式)

师：③以前研究过没有？它是分数吗？

生6：不是，分母含字母．

师：它是整式吗？

生6：这个式子不能写成数字乘字母的形式，它是字母乘以字母倒数的形式，或者字母除以字母的形式，而整式是数字乘以字母或字母乘以字母的形式，所以它不是整式．

师：③既不是我们学过的分数，也不是整式，那它是什么呢？请一位同学起个名字.

生7：分式.

师：是的，这就是我们将要研究的分式，在后面的学习中我们将用15课时左右的时间来研究分式这一对象．(教师在黑板中间写出课题：“分式”，同时在“③分母含字母”后面板书：分式)

师：继续来看式子④，它是分数吗？

生8：不是！同样的，分子、分母中含字母．

师：下面请观察③④这两个式子，它们的共同特征是什么？

生9：分母中含有字母．

师：什么叫分式呢？

生10：分数形式的式子叫做分式．

生12(马上补充)：分数形式且分母含有字母的式子叫做分式．

师：这样是不是就可以了呢？我们看分母B能为0吗？

生14(立刻补充)：A,B为整式，B≠0．

·教学片断2——追问问题

(小组讨论) (1)想一想：小学时我们是如何研究(从哪些方面)分数的？

(2)猜一猜：将从哪些方面研究分式呢？

(教师在课题下方板书：分数．在小组讨论的时候，教师行间巡视，引导、帮助不同小组进行总结、归纳，然后小组派代表进行班级交流．)

师：请第3小组代表回答“想一想”．

生1：什么是分数？

师：如果用两个字概括一下，可以称之为分数的什么呢？

生1：概念．(教师在“分数”后板书：→概念)

师：除了概念，我们还研究了分数的哪些内容？(学生沉默)

生2：分数的性质．(教师在“分数→概念”后面板书：→性质)

生3：运算．(教师在“分数→概念→性质”后面板书：→运算)

师：运用概念、性质、运算来解决实际问题称为什么？

生3：分数的应用．(教师在“分数→概念→性质→运算”后面板书：→应用)

师：概括一下，在小学我们是从概念、性质、运算、应用这四个方面来研究分数.那么同学们觉得，在今后的分式学习中我们将会从哪些方面来研究呢？(教师在“分数”下方板书：分式)

生4：概念、性质、运算、应用．

(教师在“分式”后面板书：→概念→性质→运算→应用，然后在分数、分式间板书：类比)

2.2 拓展问题，类比联想，自然生成研究问题的数学方法

·教学片断3——拓展问题

已知京沪铁路全长1 462 km，提速后货车的速度为akm/h，客车的速度是货车速度的2倍，从北京到上海的客车比货车少用6 h，求货车的速度.

想一想：你能用方程描述其中的数量关系吗？

说一说：你得到的方程中包含哪些运算关系？如何运算？

试一试：你会解你列出的方程吗？

师：想一想，请你用方程来表示其中的数量关系？(教师巡视、观察，或者帮助学生)

师：这是什么方程？方程(*)中未知数是什么？

生2：一元一次方程，未知数是a．

师：之前我们研究过的一元一次方程，一元、一次分别指什么？

生2：一元是指方程只含有一个未知数，一次是指未知数的最高次为1次．

师：方程(*)是一元一次方程吗？

生2：不是．

师：那这究竟是什么方程，能给它起个名字吗？

生3：分式方程．(教师在“分式→概念→性质→运算→应用”的下方板书：分式方程)

生4：分数的分子分母同时乘以或除以一个不为零的数，分数值不变．

师：乘除法呢？分式的乘除是否也能类比分数的乘除运算法则进行运算呢？

生7：可以．

师：我们把这个问题留给同学们在今后的具体学习中进一步去发现、解决．

师：这个方程解到这一步，下一步该如何进行呢？(教师请生8到黑板前讲解．)

师：我们再来梳理一下这个分式方程的解答过程.首先我们应用分式的性质把方程化简为(** )式(在方程后面板书：性质)，然后利用分式减法法则继续化简方程为(*** )式(在方程后面板书：运算)，再利用等式性质把方程进一步化为6a=731，最后求出这个方程的解．

师：注意观察，方程(*)是分式方程吗？

生(齐答)：是．

师：方程(** )呢？

生(齐答)：也是．

师：方程(*** )是分式方程吗？

生(齐答)：还是．

师：方程6a=731还是分式方程吗？

生(齐答)：不是．

师：那它是什么方程呢？

生(齐答)：一元一次方程．

师：它是我们学过的一元一次方程，是整式方程．在以后具体研究分式方程解法时，这将体现出一个重要的数学思想，知道这是什么数学思想吗？

生9：转化思想．

师：对，转化思想，即把分式方程转化成整式方程．

2.3 提炼问题，完善认知，自然生成研究问题的数学思想

·教学片断4——提炼问题

说一说：(1)为什么学习这一章内容？分式与分数的差别在哪里？(2)本节课我们是从哪些方面研究分式的？采用了什么思想方法？(3)还有什么困惑？

师：我们为什么要研究分式呢？

生1：实际问题中出现了分式，是生活的需要，而且以后还要用到．

师：仅仅如此吗？

生2：七年级我们研究有理数后，研究了整式相关内容，有理数分类为整数和分数，式子分为整式和分式，数学知识自然生长．

师(有点激动)：你说得真是太好了，“自然生长”这个词用得好!(学生自发的掌声)

师(进一步补充)：学习分式是解决实际问题的需要，也是数与式内部结构发展的需要．

生3：分式是分数的延伸，分式中含有字母，而分数中不含字母．

生4(补充)：分式是分母中含有字母，且要求分母不为零．

师：问题(2)呢？

生5：我们研究了分式的概念、性质、运算和应用，采用了类比分数的思想方法．

师：能说得再具体一些吗？

生6：类比分数概念得到了分式的概念，类比分数的运算初步感悟到分式的运算也分为加减乘除，对于加减同分母的直接分母不变、分子相加减，异分母的要先通分后加减．分式的乘除可以先化除法为乘法，再约分，约分的方法跟分数一样．

生7(补充)：还学了分式方程的相关内容，解分式方程的方法就是化分式方程为整式方程．

师：同学们说得太好了，你们的总结用一个图谱来表达，就是图2．(投影展示)

图2

3 课堂反思与教学思考

3.1 以问题为引导，建立全局理解，在整体思考的过程中生成新的知识体系

“提出问题”中四个小问题是教材章头图2问题的变式，让学生根据已有经验列出四个式子．通过分析它们的特征引发认知冲突，提出要研究的新问题,让新知识自然产生．学生列出四个表达式后，教师提问：哪些形式是已经学过的，哪些是没有学过的？没有学过的式子有什么特征？在教师的引导下，学生不断思考，知识在不断创新，对概念的认识逐步完善，学生的学习灵性智慧被不断激发出来．学生在不断地顿悟中很快得到对分式概念的深度理解．

“追问问题”通过“全面理解，系统建构”完成．先是小组成员集体讨论，然后小组选派代表发言．大家一起回忆小学时研究分数的一般性方法，类比联想到分数，做出大胆合理的猜想，准备从概念、性质、运算、应用等方面来研究分式，教师给予充分的肯定．“追问问题”的教学过程是问题促思、类比建构，在教师与学生的对话过程中初步构建分式一整章的知识研究框架，自然而然地自主建构研究新的数学对象的知识体系．

3.2 以拓展为契机，类比参照对象，在全面比较中生成新的研究体系

“拓展问题”中，一方面通过开展讨论、师生对话，利用类比思想不断创新地思考问题、不断地解决问题，类比一元一次方程的概念、解法，尝试领会分式方程的意义．另一方面，类比思想的本质也包含两个方面：求同、存异，即相同点和不同点．在知识体系构成上分式是否有不同于分数之处呢？自然而然地，在“提出问题”的基础上提出“拓展问题”，学生得到方程后，为了解方程，从已有的关系式出发，通过“想一想”“说一说”“试一试”，类比分数的性质、加减运算法则，初步感悟分式的性质、运算法则，经历探究分式方程的运算过程，初步猜想解简单分式方程的一般方法，体会转化解分式方程的指导思想，知道检验方程解的必要性．

3.3 以提炼为意向，健全认知体系，在思维碰撞中生成整体的智慧理解

值得一提是“提炼问题”，即课堂小结．基于全面性理解和开放性思维，课堂小结力求厘清三个问题：(1)为何研究分式？一是其必要性．通过分析生活中的实际问题，学生直观地感受到实际问题中存在着新的数量关系，而且这种数量关系在生活中广泛存在，新的表达形式的出现成为新的研究对象，有必要去研究.二是其重要性．学生在小学已经掌握了分数的知识体系，又有了初中阶段整式的学习基础，类比分数发展，分式是数与式内部知识结构发展的需要，也是数、式运算发展的需要，依赖学生原有的经验能够生成新知，学习分式有客观的重要性，还会形成学生学习的内驱力．(2)分式研究什么？这个问题与怎样研究分式是相互联系又交叉在一起的．具体来说，分式的学习要利用七年级上代数式知识中从数到式抽象过程的经验，通过类比小学学习的有关分数的概念、性质、运算、应用的经验来探索，实现从分数到分式的跨越．(3)怎样研究分式？课堂充分利用了学生已有的学习水平、经验、能力以及基本的数学素养，诱发学生自然而然想到小学学过的分数，这就奠定了学习分式的基础．根据最近发展区理论原则，类比联想推理分式的概念、性质、运算和应用．类比思想是研究分式问题的基本方法．

总之，分式章头图的教学要以全面理解和开放思维为课堂教学设计的着力点，课堂教学以问题为引导、以生成为追求，类比思想贯穿教学过程的始终.课堂上，教师要不断留意学生的变化和反应，捕捉教学的契机与智慧火花，自然地生成新知识、新方法、新思想．