悠远 融通 灵巧 凝练——基于整体观的初中数学教学

石礼芹

(江苏省淮安市金湖县教师发展中心 211600)

布鲁纳说：“学生获得的知识，如果没有一个完满的结构把它们联在一起，那么一多半便会被遗忘．”[1]就初中数学教学现状而言，课堂教学依赖于教材划分的课时内容，习惯于“就内容讲内容”，满足于“完成基本任务即可”的现象较为普遍．这样的教学，由于教师对教材缺乏整体性把握，学生得到的往往是零散的、碎片化的知识，容易遗忘，也不利于他们的后续发展．如何才能改变这种现状呢？笔者以为，教师要深刻理解布鲁纳上面这句话的内涵，意识到知识体系的构建对学生学习的重要性，能从整体观的角度去引导学生：在沿袭学习路径中领会学习方法，在融会贯通中实现知识升级，在类比迁移中学会探究新知，在多题归一中掌握解决问题的通性通法；从而让学生真真切切地感受到数学的悠远之境、融通之美、灵巧之意、凝练之态．

1 沿袭学习路径，感受数学的悠远之境

章建跃博士指出：“数学具有‘追求最大限度的一般性模式的倾向’，有一套具有普适性的思考结构.”[2]这里的“一般性模式”，其实就是我们平时所说的学习路径，也是章先生提倡的研究问题的“基本套路”.纵观数学教材，可以发现，虽然章节内容各不相同，但数学知识之间的内在逻辑结构、研究对象的逻辑关系、数学知识的呈现等都是有规律可循的.教师要引导学生理解并掌握研究不同类型数学对象的“基本套路”，学会借鉴以往的学习经验，并沿袭普适性的研究路径展开学习．

案例1《线段、射线、直线》的教学．

从这节课开始，学生将系统学习平面几何，从知识内容来看，它是今后研究其他图形的基础；从研究方法和路径来看，可以为今后研究其他图形提供可借鉴的经验.本课的重要性不言而喻．在教学时，教师不仅要研读本节课教材编排的内容，也要熟悉整个初中阶段平面几何的学习内容，找出“一般性模式”，按照“背景—图形—定义—表示(三种语言)—性质—联系和应用”的逻辑路径展开教学，尤其在课堂小结时，要求学生自已回顾总结研究的步骤，从而明晰研究几何对象的“基本套路”，达到“示以学生思维之道”的目的．

在接下来学习《角》时，首先问学生：我们学习《线段、射线、直线》时，是按照怎样的研究思路进行的？引导学生回顾后，指出：今天我们将借鉴这样的路径研究《角》．同样地，在平行、垂直、余角和补角等内容的学习时，也都可以用相同或相近的思路展开探究活动，让学生感受到学习新知是“有路可走”的．

案例2法则教学．

章建跃博士认为：数学的命根子是推理，数学的童子功是运算.[2]法则教学兼具了培养学生推理和运算能力的功能．以“有理数的加法”为例，它是初中阶段学生学习的第一条运算法则，教学时要深刻领会教材的编写意图，能够将其放置于整个体系中去思考，理出法则教学的基本套路，按“背景—数学式子—法则—联系和应用”的逻辑顺序展开教学.与前面几何教学相似，在全课总结环节，也要引导学生自己对研究过程进行梳理，为后续学习提供可以借鉴的学习路径．

同样地，概念、公式、定理、性质等内容的教学也都有其共性．教学中，教师要梳理出研究学习的基本模式，引导学生学会沿袭以往的学习路径，从而能够顺利探得新知、挖得宝藏，使他们感受到数学学习的“珠穆朗玛峰”虽然离自己很远，但“登山”的路就在脚下，从而切实体会到数学的悠远之境．

2 学会融会贯通，感受数学的融通之美

数学知识的形成是自然拓展的结果．比如数的演变过程，由于记事和分配生活用品的需要，先产生自然数，接着产生分数，然后是有理数、无理数……教师在教学中应及时融会贯通，特别要注意将新知识纳入原有知识体系，让学生感受到，随着数学知识的自然拓展，原有的很多规定、法则等都会有相应的升级、更新．

案例3《幂的运算》．

这一章节内容，教材中先安排了四课时学习《同底数幂的乘法》《幂的乘方和积的乘方》以及《同底数幂的除法(1)》的运算法则，这几种运算都建立在幂的指数为正整数的前提下.在第五课时学习了“零指数幂和负整数指数幂”之后，笔者设计了这样两组题目：

要求学生先计算，计算后引导学生观察讨论：①和②，③和④之间有怎样的关系？同底数幂的乘法运算性质与除法运算性质之间有怎样的关系？

第二组 判断下列计算是否正确：

(1) (4-2)3= 4-6；

(2)(-2 × 3)-2= (-2)-2× 3-2．

学生依据负整数指数幂的规定，分别计算等式的左右两边，确定出这两题都正确．然后教师提问：这两个式子给你们什么联想？

设置这两组习题的目的有两个：一是使学生知道，幂的运算性质扩展了，使得同底数幂的乘法和除法运算性质实现互通，它们的本质是一致的；二是让学生体会到数学知识之间的紧密联系，感受到数学的统一美、整体美．事实上，基于整体观的初中数学教学不仅可以像案例1、案例2那样反映一个板块的联系，也可以像《幂的运算》一样，体现在一个章节的前后融通中．

这两组习题其实也是新知学习后的“回头看”，它就像一个控制键，按下它就是打开了新旧知识联结的阀门，新知得以与旧知自然连通，旧知也得以更新与升级，学生眼中的数学是可以融会贯通的，从而感受到数学的融通之美．

3 加强类比迁移，感受数学的灵巧之意

类比迁移是一种基本的思想方法．通过类比，可以有效地将已有知识的内容和研究方法正向迁移到新知识的学习中．细心研读教材我们便会发现，有不少知识点虽然所在章节不同，但内容非常相近或类似，对于这部分内容我们完全可以实行“点对点”的迁移，在沿袭“路径”中探究新知，在纵横比较中加深理解．

案例4教学《分式》可以类比《分数》进行．

从知识板块纵向比较看，分数和分式同属于“数与代数”这一板块，它们都可以按照“背景—对象—定义—性质—运算—应用”的设计线索展开(图1)；从章节编排体系横向比较看，它们的知识脉络是一致的 (图1)：它们的定义形式类似、基本性质的内容类似、约分和通分的方法及依据类似、四则运算的法则类似，实际应用的范围也有类似之处，所以类比《分数》进行《分式》的教学，不仅能够有效培养学生应用已有学习经验解决新问题的能力，更能提高他们对知识生长链整体性的认同感．

图1

像这类体系相同、知识点类似的章节还有很多，都可以进行类比教学．例如，一次函数、反比例函数和二次函数之间，一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程之间，一元一次方程和一元一次不等式之间等．

同样地，概念是种属关系的知识之间也可以进行类比迁移．学习相似三角形时，可以引导学生类比它的特殊情形——全等．矩形、菱形、正方形这些特殊平行四边形的学习，也可以类比平行四边形的学习方法和过程展开．

新旧知识的沟通与类比，让学生发现，对于不同章节里有着紧密联系的知识，由于它们的知识结构有相似之处，此时的探究学习并不需要另辟蹊径，而是有窍门的，是可以“巧学的”，从而感受到数学的灵巧之意．

4 尝试多题归一，感受数学的凝练之态

著名数学家华罗庚把读书过程归结为“由薄到厚”和“由厚到薄”两个阶段．[4]其实这也正是我们数学教学的两个阶段：在每一节课教学时，我们要充分研读教材，理清知识脉络，找到本节课内容的“生长点”和“延伸点”，领会教材所蕴含的重要的数学思想及可借鉴的学习路径等，这就是学习的第一阶段——“由薄到厚”；当我们将一章乃至更多的内容学完时，就需要进行梳理归类，找出相关问题的共同点，归纳总结相同的解题方法和经验，用几句话或一个图表简洁地将知识进行串联，这就是学习的第二阶段——“由厚到薄”．要做到“由厚到薄”，教师就要善于整合教材，追本溯源，做到“多题归一”．

案例5锐角三角函数的简单应用．

由一道实际问题变式得到四个题目，根据这四个题目可画示意图(图2)，解答后引导讨论．

图2

问题1 这四个图形是用“锐角三角函数解决问题”的几种常见类型，它们的解题过程有何类似之处？

师生共同小结，归纳出解题基本思路(图3)：

图3

问题2 这四个图有何联系？

学生讨论后明确：通过高线CD可将第一个图形中的△BCD沿CD翻折得到第二个图形，将第二个图形中的CB平移会得到第三个图形，将第三个图形中的△BFD沿BF翻折可得第四个图形，所以后面的三个图形都可以由第一个图形变化而来(图4)．

图4

教材中，锐角三角函数的简单应用里的大多数实际问题都可以对应到以上四种图形，而这四个图形都可以由第一个图形转化而来，就相当于这一章所学的知识，掌握一个基本图形的解答，再稍加变化就可以了．这样的整合概括性强、思想性高、数学味浓，减轻了学生的学习负担，实现了多题归一，让学生对整章知识有了全面又简洁的深刻认识，从而感受到数学的凝练之态．

让学生感受到数学的悠远之境、融通之美、灵巧之意、凝练之态，只是“基于整体观的初中数学教学”的初衷.它的最终目的是希望教师能站在整体观的高度去审视教材、实施教学，摸清不同类型知识的研究路径，让学生的学习探究“有路可走”；加大对学生知识体系的构建强度，让学生的知识体系“及时升级”；加强横向与纵向联系，让学生的新知学习“一马平川”；拓展对多题归一研究的深度，让学生的后续学习“一通百通”．