任务设计：重在促进学生对概念的内化——观摩“弧度制”同课异构教学引发的思考

华志远

(江苏省无锡市第一中学 214031)

2019年10月，江苏省高中青年教师优秀课评比活动在常州举行，“弧度制”是其中的课题之一.此次活动中共有14位青年教师展示了自己的教学风采，给笔者留下印象较深的是以下三点：一是创设的教学情境富有个性，能为师生互动提供较好的平台；二是几乎所有教师都以HPM视角来设计教学，发掘数学史的教学价值；三是打破例题与练习的界线，使教与学融会贯通．一些教学形式较为新奇的课堂并没有得到同行认同，而那些看似平实、内涵却丰富的教学设计受到评委的青睐，从而体现了良好的课堂教学评价导向．在评课活动中，教学专家也提出了一些教学上的不足．例如，有些课堂的引入离课题较远，明显带有“去数学化”现象；有些设计在角度制复习或角度制数学史记载等方面的教学用时较多，从而冲淡了本节课的主题，导致教学前松后紧，影响了课堂效果．苏州大学数科院的徐稼红教授一针见血地指出：几乎所有选手对弧度制概念引入的必要性都缺乏有说服力的解释，这样学生很难体验角度制与弧度制相互转化的数学价值．

本文试图通过若干弧度制概念发生阶段的教学片段的比较，谈一谈如何优化数学问题、数学任务的设计，理清教学主线，提出数学观点，渗透思想方法，引导认知方略，促进概念内化，从而实现学生的深度学习．

1 初始任务：让学生找到认知的固着点

任务设计1 (1)度量长度既有国际公制又有中国市制．例如，南京到常州约132千米，一位同学身高1.8米，当然也可以说南京到常州约132 000米，但说该同学身高0.001 8千米，明显不妥．不同的单位会给不同环境下解决问题带来方便．

(2)复习提问：1度角是如何定义的？在角度制背景下，弧长公式和扇形的面积公式是怎样的？

任务设计2 (1)目前，苹果公司发布了A13手机芯片，华为公司也面向全球发布了麒麟990系列手机芯片．从麒麟910到990，从A4到A13，芯片发展的共同点是希望尺寸更小、运算更快、性能更强．数学中也有类似的发展．

(2)在半径为r的圆中，填写圆周长、半圆周长、圆周长、n°的圆心角所对的弧长．教师：该弧长公式反映了弧长、圆心角、半径之间的关系，但运算不够简洁．

任务设计3 (1)在章首语中，我们学到周期现象最简单的例子就是：圆周上一点的运动．设P是半径为r的圆O上一点，为了构建数学模型来刻画点P在圆周上的周期运动，首先要将点P表示出来：(r,α), (r,l), (x,y)都可以表示点P，那么α,l,r,x,y之间具有怎样的关系？今天我们先来研究l,r与α之间具有怎样的关系.

(2)记圆心角α=n°，l,r与n有怎样的等式？这反映了l,r与α之间具有怎样的关系？

点评上述三种任务设计开始时有差异，第一位主要创设类比情景，说明长度单位因适切性而不同，联想到角度的单位制也可不同；第二位的引入主要说明数学与其他行业一样都要追求发展，意味着角度制具有局限性，明显与主题相去较远，此外，弧度制的引入也不是因为弧长公式不够简洁产生的；第三位利用章首语导入，具有大单元的意识，引入自然，但学生不知道问题的去向，后续提问也不够直接．三种设计最终都回归到复习初中学过的角度制背景下的弧长公式，这是新旧知识链接点，只是设计1更简洁明了，直奔主题．

2 探究任务：在实验与思考中逐步完成

3 核心任务：在高水平示范中实现迁移

也有选手介绍了1837年James Thomson教授首次使用了弧度一词，当时他将半径(radius)的前四个字母与角(angle)的前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接受和使用，从而加深了学生对弧度符号的理解．

4 反思性任务：在质疑释疑中促进理解

点评发掘学生熟悉的知识背景，一方面引发了学生的认知冲突，并在分析、解决问题的过程中，建立起良好的认知结构；另一方面简要再现了弧度制的发展史，减少了数学学习的“冰冷性”，促进了学生的理解和思考；同时也为后续三角函数的学习作认知心理的准备． 纵览数学发展史，弧度制的建立主要是由于变量数学的兴起，尤其是函数、微积分等近代数学的发展． 此外，物理学、天文学、工程学及测量学等也起到了较大的推动作用． 教学中，由于时间和学生认知等原因，我们不能一一向学生介绍，但是有了这样的数学史学观，教学才能驾轻就熟，高屋建瓴．

各参赛教师在例题、练习、归纳、小结等方面各显神通，体现了良好的专业素养，不再赘述．

当下的数学概念教学存在两种错误倾向：一种是常态教学中受应试观念影响，许多教师忽视概念发生阶段的教学，通过所谓的学案编制大量的基础题让学生练习.这样,短期的成绩较好，但由于没有理解概念的来龙去脉，数学思想方法的渗透也兼顾较少，导致学生的学习遗忘现象较为严重，独立分析解决问题的能力下降，学生的认知水平并没有提高.另一种是公开教学中教学设计追求新颖奇特，课件追求华丽炫酷，课堂教学气氛追求热闹，知识发生阶段的教学漫无边际、盲目扩张，多数教学活动仅停留在知识的外围，没有涉及数学概念的本质，同时由于课堂的拖沓，影响了后续的例题、习题教学，加重了学生的学习负担.这样的“伪探究”并没有真正提升学生的能力和素养． 这两种极端的教学思潮，都是课堂教学缺乏品质的表现．

教师只有依据学生的学情，设计科学合理的数学问题和任务，才能驱动学生认知的探索热情，并在教师高水平的示范引领下，促进学生对概念的内化、思想方法的领悟和认知能力的提升． 怎样评价数学问题和任务的有效性和高品质？从认知能力维度分类，可把数学任务分为高认知水平、中等认知水平和低认知水平任务三个层次． 高认知水平任务核心是培养学生的关键能力和核心素养，如数学抽象、数学推理、直观分析、建模用模、质疑探究和数学交流等，中等认知水平任务则注重学生对数学认识和理解水平的提高，而低认知水平任务则主要依赖概念的记忆和应试的训练． 由于教学理念的区别，数学任务的设计具有明显的差异． 高认知水平任务对学生的感悟、理解、思考、探索、推广等具有积极地推动作用，并能引领学生通过自身的努力，构建优质的认知生态，提高学生的能力和素养．