有深度的学习需循序渐进螺旋上升——“分式”教学实录与反思

庞彦福

(江南大学附属实验中学 214036)

1 基本情况

1.1 授课对象

学生来自学区普通班，基础不够扎实，认知水平与能力及再学习的能力都相对薄弱，缺乏良好的学习习惯及行为习惯，但可塑性较强.经过一年半多的引导与磨合，大多数学生已经有了一定的探究意识与能力、联想能力、抽象能力及推理能力．

1.2 教材分析

苏科版《义务教育教科书·数学》将“分式”一章安排在八年级下册，属于《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《标准》)“数与代数”板块内容．此时学习分式，学生不仅有了一定的代数基础，而且也有了必要的推理能力和思辨意识．分式是整式内容的进一步延续和发展，是代数恒等变形的重要内容之一．分式是由分子、分母两部分组成的，相对于分数和整式而言，其概念的内涵更为丰富，运算难度增大，符号变化更为复杂，方法也更为灵活．分式的概念具有承上启下、统揽全局的作用，为全章的学习和研究搭建了框架，对该板块内容的建构与学习起先行组织者的作用．分式又是后续学习分式方程、函数以及其他有关知识的重要基础．

基于以上理解，本节课的教学目标确定为：(1)了解分式的概念，会判断一个代数式是否是分式；(2)能用分式表示简单问题中的数量关系，理解分式有、无意义的条件，会根据已知条件求分式的值；(3)经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中一类量的数学模型，进一步发展符号观念，体悟用类比研究问题解决问题的思想方法．

教学重点 正确理解分式的意义，了解分式是否有意义的条件及分式的值为0的条件．

教学难点 能将分母不为0灵活运用到问题解决之中．

2 教学过程

2.1 本真引入，有效教学

师：同学们，由“分式”这个课题能想到什么？

生1：分数．

师：大家回想一下分数，它是怎样产生的呢？

师：之前我们学习过整式，能举几个整式的例子吗？

生3：太多了！譬如1, 2x,a+b, 3m2- 2n3, ….

师：从中任选两个作运算，你准备作什么运算？

问题1(1)面积为6 m2的长方形一边长是5 m，则它的另一边长为m；一块长方形玻璃板的面积为2 m2，如果宽为am，那么长是m；长方形的面积为S，长为m，则宽为.

(3)两块面积分别为a公顷、b公顷的棉田，产棉花分别为mkg,nkg．这两块棉田平均每公顷产棉花kg.

(4)小明从家到学校的路程约为3 km，平均速度为vkm/h，需要的时间是h；为了能够早点来到学校，若平均每小时多走bkm，那么需要的时间是h．

设计意图奥苏贝尔把全部教育心理学归结为一句话：影响学习唯一重要的因素，是学生知道了什么．建构主义的学习理论认为：学生的学习是从自己已有的知识和经验出发的一种自主建构的过程．我国古代著名哲学家、思想家老子有句名言：“天下难事，必做于易；天下大事，必做于细”，它精辟地指出了想成就一番事业，必须从简单的事情做起，从细微之处入手．知识的产生、发展与探索是一个逐步的过程，分数的概念既来源于实际的需要，又是数学内部发展的需要，从分数到分式是数到量飞跃的标志．从除法到分数、从整式到分式，意在引导学生学习数学要联系地学、整体地学．这样设计，揭示知识间的联系，紧靠学生的最近发展区，加深了学生对知识的理解和内化．

2.2 体悟本质，深度学习

师：仿照分数，能给分式下个定义吗？

设计意图概念是教学的基石，是学生认知的基础，是学生开展数学思维活动的载体．对于概念学习的方式，奥苏贝尔区分了两种基本形式，即概念形成和概念同化．这里主要采用的是概念形成的方式来初步认识和理解分式的概念，其过程往往需要从现实生活或者是问题情境中归纳分式结构的共同特征并抽象出其本质属性来．章建跃博士指出“概念教学必须让学生经历概念的形成过程”．而类比分数来认识分式的学习过程其实就是概念同化．数学教学中，要“构建前后一致、逻辑连贯的学习过程，使学生在掌握数学知识的过程中学会思考”[1]，进而实现从有效教学到深度学习的过渡，以达到理解数学的本质．

2.3 循序渐进，螺旋上升

师：根据同学们理解的分式概念，请回答：

问题2下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？

2.4 思悟数学，增长智慧

学生做了很多数学题，但学生对数学的认识与理解并未水涨船高，学生的数学学科素养并未得到提升，其原因就是缺少对数学内容深度思考、理解与体悟．思悟数学就是要通过适宜的教学引发学生深度思考，能够有所悟、有所得．

问题4对下列分式，你能提出什么问题？

设计意图数学的核心是研究关系[3]，就初中阶段的数学来说，无外乎数量关系、图形关系以及随机关系．运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力[4]是落实《标准》倡导的“问题意识”，更是引导学生通过观察和思考来学习数学、理解数学和应用数学．《标准》指出：数学知识的教学要注意知识的“生长点”与“延伸点”．如何延伸呢？拓展题，就是为了发展学生思维的广阔性和灵活性而设置的，以践行《标准》指出的“不同的人在数学上得到不同的发展”的基本理念．

问题5如何回顾总结提炼学习过程？

师：概念是思维的基本单位，是数学逻辑的起点，是数学学习的核心．同学们想一想，能用简洁的语言提炼你学习分式概念的体会吗？

生8(文科很好)：我觉得可以总结为两个“三”.一是分式概念要三个条件：(1)分子分母都是整式，(2)分母中含有字母，(3)分母不为0；第二是分式的条件要注意三条：(1)分式在什么条件有意义，(2)分式在什么条件无意义，(3)分式在什么条件值为0．

师：总结得很有条理，很有数学味．

生9：其实我觉得，分式的分母不为0是我们应该想到的，而不是定义中给出的……

在学生的期望和等待中，教师示意生9继续．

师：大家有什么意见？

师：真理需要辩论！对分式的认识、理解在争辩中越来越清晰，分式的本质也越来越明了了．同学们还想说什么？

生11：我想分式接下来的内容也应该和学习分数差不多，从概念到基本性质再到运算和应用问题．

师：思考的方向很正确，很有思维含量.研究问题有了清晰的主脉线，再加上有效的策略，接下来的学习就会越来越有思路和方法了．

设计意图该环节相当于课堂小结，借学生之口把学习的体会与经验分享给大家，提出学习的困惑或认识的误区提醒大家注意，达到廓清概念本质、厘清知识思路、明确内容结构、积累学习经验．教学策略、学习方法是多变、灵活的，符合学生认知规律的策略与方法才是最好的．

3 回顾与反思

3.1 教学设计的立意

概念教学要摒弃“一个定义+几项注意+若干练习”的枯燥做法．数学题目是练不完的，练是学习过程中的必要经历和环节，练是进一步理解、是为了巩固、是知识的运用，切不可以教育的名义或打着“熟能生巧”的幌子让学生傻练、死练．殊不知“没有理解的练习是傻练，越练越傻；没有练习的理解是空想，越想越空”(罗增儒语)．学习数学当然需要解题，但更需明白题目背后蕴含的知识、方法及数学思想，把解题过程中积累的经验与技巧变成再学习的起点，把习得的思想方法与感悟提炼为成长过程中的素养和智慧．

3.2 教学反思

(1)要厘清分式定义本质

(2)要体悟其中的思想方法

数学思想是数学的灵魂，是数学知识和数学学习的精髓，蕴涵在数学知识形成、发展和运用过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括.[4]一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰、从理解到应用的长期发展过程，需要在不同的数学内容教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的过程才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴涵的数学思想．从分数到分式，既有类比的思想方法又是特殊到一般、一般到特殊的体现，讨论分式有无意义或值为0往往是转化到了关注分子、分母上来．数学的思想方法及技巧难以由教师教会学生，往往是学生通过解决问题或深入思考而自己习得与悟到．学生自己真正体悟到思想方法与技巧才会更好地延续和发展．

(3)要虚实结合侧重分明

(4)发现不足要及时弥补

本节课的不足是没能将教师用书中的“解释简单分式的实际背景和几何意义”教学目标在学生层面上落实，其次是教材中数形结合思想体现不充分．不过，在接下来“分式的基本性质(第1课时)”及时进行了弥补．

数学学与教的过程中，该简约时要简约，做到了“简约而不简单”就是一种境界．