基于“最近发展区理论”的教学设计——以“等差数列的前n项和”引入为例

程 伟

(江苏省南京师范大学附属扬子中学,210048)

数学教学是强调数学思维的教学,那么数学教学就应该体现数学思维的过程,提高学生的数学核心素养. 数学知识则是培养学生思维能力的载体,以此为工具进行核心素养的培养,就需我们在教学过程中尽可能使知识的生成合情合理、不超越常规思路,不使学生感到茫然.

比较人民教育出版社(A 版)数学教材(以下简称人教版教材)和江苏教育出版社数学实验教材(以下简称苏教版教材)对等差数列前n项和的不同处理方式,笔者发现，同为高中数学必修5教材,两者差异还是比较大的．人教版教材侧重于知识的应用,而苏教版教材侧重于知识的生成,两者若能更好地融合,在教学上则能更符合学生的“最近发展区理论”.笔者为此进行了一些尝试.

以等差数列的前n项和问题教学为例,要学生自然倒序相加的方法去解决,需要我们合理进行情境设计，避免使学生产生“帽子里突然跑出一只兔子”的感觉.仔细阅读这两版教材,则会发现，如果是两者相融合,上课会更加自然流畅,学生对倒序相加方法的产生不再感到神秘.

一、两版本教材知识内容的呈现

人教版教材必修5中2.3节“等差数列的前n项和”以如下方式引入.

200多年前,高斯的算术老师提出了下面的问题:1+2+…+100=?

据说,当其他同学忙于把100个数逐项相加时,10岁的高斯却用下面的方法迅速给出了正确答案:

1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5 050.

高斯的算法实际上解决了等差数列1,2,3,…,n,…前100项和的问题.人们从这个算法中受到启发,用下面的方法计算数列1,2,3,…,n,…的前n项和.

由

可知

苏教版教材则以如下方式引入.

如图1所示,这是某仓库堆放的一堆钢管,最上面的一层有4根钢管,下面的每一层2上一层多一根,最下面一层有9根,怎样计算这堆钢管的总数呢?

假设在这堆钢管旁边倒放着同样一堆钢管,如图2,这样每一层的钢管数都等于4+9,共有6层,从而原来一堆钢管的总数为:

二、博取两者之长，重组教学内容

数列求和问题,实际上是一种加法运算. 但是学生在此之前对多个数的求和问题接触并不多， 因此,必会出现认知的冲突.如何解决这个问题?维果斯基的“最近发展区理论”认为,学生的发展有两种水平:一种是学生的现有水平,即独立活动所能达到解决问题的水平;另一种是学生可能的发展水平,也就是通过教学所获得的潜力，两者之间的差异就是最近发展区.教学应为学生提供带有难度的内容,调动学生的积极性,发挥其潜能,超越其最近发展区而达到下一个发展阶段的水平,在此基础上进行下一个发展区的发展.

基于最近发展区理论,针对两种教材,笔者设计了以下教学方式,教学过程如下.

问题1 请计算:1+2+…+100.

由于不少学生在小学的时候就学习过高斯算法,学生很容易解决上述问题,即

1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+…+(50+51)=50×101=5 050.

问题2 你能计算1+2+…+100+101吗?

生1:原式=(1+100)+(2+99)+…+(50+52)+51=5 050+101=5 151.

生2:原式=(1+101)+(2+100)+…+(50+52)+51=102×50+51=5 151.

教师:很好,你能利用高斯加法思想解决该问题,但是,这个问题和问题1的区别是什么?大家看看问题3怎么处理?

问题3 请大家计算1+2+3+…+n(n∈N*).

让学生思考片刻后,有学生给出解答.

师:还有其他解决方式吗?

这时候还有学生利用学生2的方法使问题也得到解决.

学生再次陷入了思考.

问题4 如何求出如图3的点阵的点数之和?

生5:这个能不能利用三角形的面积公式去求?

师:你试试?

同学们笑了,怎么可能是分数?

师:大家不要笑,其实学生5的思路非常好,大家再想想如何处理这个问题,他已经快达到真理的面前了,并且这种思想在你们小学的时候老师也讲过.

过了一会,

生6:能不能这样呢,把再构造一个一样的三角形点阵,倒着放,和这个图形拼一个平行四边形?

师:那你去试试怎么处理?

这时,教师把图4展示给学生. 学生此时恍然大悟,教师顺势引导.

师:大家想想问题4该如何处理?

学生在尝试如何解决问题4,此时,已经有学生利用倒序相加求得问题4的和.

设计意图 这样的设计自然,通过问题链激发学生的回顾、思考、联想,检索大脑中已有的知识,符合学生的“最近发展区理论”. 顺着问题指引的思路,学生应该会对n的奇偶性进行讨论,从而得到等差数列的求和公式. 但是,这样还是使问题变得更加复杂了,显然不是上课所要的效果. 对于启发学生用倒序相加,而避开对项数的讨论,因此,笔者设计了问题4,利用苏教版的教材,从形的角度去指引，这样还是很直观地达到了启发学生对倒序相加的理解.

三、回望教材，反思教学之道

由于教学有以下基本原则:抽象与具体相结合;严谨性与量力性相结合;理论和实际相结合;巩固与发展相结合. 而将两版教材融合后更能符合这些原则.

首先,从具体到抽象比较符合学生学习过程从感知到理解、从表象到概念的认识规律. 这两版教材都利用实物直观、模型直观,使学生形成鲜明表象,是学生掌握数学理论知识的重要环节,也是贯彻抽象和具体相结合的前提.学生学习数学理论是从直觉开始的,理性知识的形成必须有感性知识的基础. 因此,对一个具体的数列求和可以使学生获得感性的知识， 这一点两版教材都有具体体现，但具体实施时又有区别:人教版给出的竖式运算式让学生很容易理解倒序相加方法产生;而苏教版则是从图示中给学生以启迪.

其次，在教学过程中,如何注意从准确的数学基础知识来培养学生的严谨性,这又要了解学生，量力而为. 在人教版教材中,学生要是利用加法交换律对数进行分配整合,需要对项数的奇偶性进行讨论,这有助于培养学生思维的严谨性；但是,从分组整合到倒序相加,这又不是很符合学生的“最近发展区理论”，需要学生量力而行. 为此，苏教版教材是给出一个模型,让学生从模型中得到顿悟,并且对公式的记忆让学生联想到自己熟悉的梯形的面积公式,以及等差的等和性质,使学生的记忆得到强化. 在教学中两者的有效结合,可以使教学掌握在学生的能力所及的范围之内.

事实上,无论是人教版教材的处理方式，还是苏教版教材处理方式都贯穿了数学的配对和对称．因为ak+an-k+1=a1+an(k=1,2，…，n-1)反映了配对和对称,人教版中从数的角度很好地体现了这一思想;苏教版教材中利用图象让学生很容易联系到梯形的面积公式,这样的处理进而升华了上述思想,加深了学生对公式的理解和记忆. 两者对学生以后的学习提供了两种新的思考方式.

俗话说“教无定法,贵在得法”.实际上教材也是给一线教师提供一个蓝本,具体如何实施,则不能全部依教材而行，这需要数学理论与数学教学实际相结合. 实际上,数列求和问题对学生来说是个新知识,在此之前接触并不多,肯定和学生的认知发生冲突. 人教版教材处理先分组可使问题得到解决,但是分组后会把问题变得繁琐;这是利用苏教版教材中学生熟悉的梯形面积的推导过程,使倒序相加变得自然和直观,这也是课堂所需要的. 这点也是符合学生的认知过程,也符合上课的一般规律.

当然,在上述教学过程中,笔者仍发现很多不足：一是在教学设计上过于细致,问题的开放性和启发性不是很充足;二是教学中学生是被教师牵着鼻子走,纵然过程流畅,但学生是否真正理解和掌握了获取新知的方法和解决问题的思想,不得而知.

这让笔者想到R·柯朗的名著《什么是数学》中的一句话:数学,作为人类思维的表达形式,反映人们积极进取的意志、缜密的推理以及完美的追求,它的基本要素是:逻辑和直观、分析和构作、一般性和个别性. 无论是人教版还是苏教版都体现了这些原则. 毕达哥拉斯也说过:“在数学的天地里,重要的不是我们知道什么,而是我们怎么知道什么.” 而不同教材的处理方式,就是告诉我们如何教导学生“怎么知道什么”.在教学中,如何将教材呈现的知识进行再创造,通过何种问题链激发学生思维,还是值得一线的教师去思考.