高三数学综合测试

一、填空题(本大题共有14小题,每小题5分，共计70分.请将答案填写在答题卷相应位置)

1. 集合A={-1,0,2},B={x||x|<1},则A∩B=______.

3.命题p:“∀x∈R,x2+2x-3≥0”,命题p的否定:______.

5.如图是一个算法流程图,输出的结果为______.

6.已知向量a=(1,1),b=(2,x),若a+b与a-2b平行,则实数x=______.

7.若函数y=f(x)的图象经过点(1,2),则函数y=f(-x)+1的图象必定经过的点的坐标是______.

12.已知圆C:(x-1)2+y2=9,点B(-4,0).若存在不同于点B的定点A,使圆C上任意一点P到定点A、B的距离比为一个常数,则此常数值为______.

二、解答题(本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分14分)已知函数

(1) 求f(x)的最小正周期;

16.(本小题满分14分)在三棱锥P-ABC中,D为AB的中点.

(1) 若与BC平行的平面PDE交AC于点E,判断点E在AC上的位置，并说明理由;

(2) 若PA=PB,且∆PCD为锐角三角形,又平面PCD⊥平面ABC,求证:AB⊥PC.

(1) 当AB沿正北方向时,试求商业中心到A、B两处的距离之和;

(2) 若要使商业中心O到A、B两处的距离和最短,请确定A、B的最佳位置.

(1) 求椭圆的方程；

19.(本小题满分16分)设m个正数a1,a2,…,am(m≥4,m∈N*)依次围成一个圆圈.其中a1,a2,…,ak-1,ak(k

(1) 若a1=d=2,k=8,求数列a1,a2,…,am的所有项的和Sm；

(2) 若a1=d=2,m<2020,求m的最大值；

(3) 是否存在正整数k,满足a1+a2+…+ak-1+ak=3(ak+1+ak+2+…+am-1+am)?若存在,求出k值;若不存在,请说明理由.

20.(本小题满分16分)已知函数f(x)=ex,g(x)=ax2+bx+c.

(1) 若f(x)的图象与g(x)的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上,且在该点处两条曲线的切线互相垂直,求b和c的值;

(2) 若a=c=1,b=0,试比较f(x)与g(x)的大小,并说明理由;

(3) 若b=c=0,证明:对任意给定的正数a,总存在正数m,使得当x∈(m,+∞)时,恒有f(x)>g(x)成立.

附加题

(1) 求这3名学生选做A题的概率;

(2) 设这3名考生中选做B题的学生个数为X,求X的概率分布列及数学期望.

24.(本小题满分10分)如图,平面上已有一个边长为1的正方形,现按如下规律作正方形:第一步向右作一个边长也为1的正方形;第二步向下以上面两个正方形的边长之和为边长作正方形;第三步向右以左面两个正方形的边长之和为边长作正方形,…记第n步所作正方形的边长为f(n),n∈N*.

(1) 求f(1)f(3)-f2(2)和f(2)f(4)-f2(3)的值;

(2) 试猜想f(n)f(n+2)-f2(n+1)的结果,并用数学归纳法证明.

参考答案

一、填空题

1.{0}； 2.-1； 3.∃x∈R,x2+2x-3<0;

二、解答题

16.(1)E为AC中点.理由如下：因为平面PDE∩平面ABC=DE，而BC∥平面PDE，BC⊂平面ABC，所以BC∥DE.在∆ABC中，因为D为AB的中点，所以E为AC中点.

(2)因为PA=PB，D为AB的中点，所以AB⊥PD.又平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，在锐角∆PCD所在平面内，过P作PO⊥CD，垂足为O，所以PO⊥平面ABC.因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB.

由PO∩PD=P，PO、PD⊂平面PCD，知AB⊥平面PCD.又PC⊂平面PCD，所以AB⊥PC.

综上，商业中心到A、B两处的距离和最短为9km,此时OA=16km，OB=3 km.

答：A选地址离商业中心6 km，B离商业中心3 km为最佳位置.

解法2 设P(x,y),x∈[-3,3],则

(本题也可以直接求出轨迹方程后再说明圆心恰好在椭圆上)

19.(1)依题意ak=16,故数列a1，a2……，am即为2，4，6，8，10，12，14，16，8，4共10个数，此时有m=10,Sm=84.

(2)由数列a1,a2,a3,……，ak-1,ak是首项为2、公差为2的等差数列，知ak=2k,而由a1,am,am-1,……，ak+1,ak是首项为2、公比为2的等比数列，知ak=2m+2-k,因此有2k=2m+2-k,k=2m+1-k，即k必是2的整数次幂.

由k·2k=2m+1知，要使m最大，k必须最大.又k

(3)由数列a1,a2,a3,……，ak-1,ak是公差为d的等差数列知，ak=a1+(k-1)d.

而由a1,am,am-1……,ak+1,ak是公比为2的等比数列，得ak=a1·2m+1-k.

故a1+(k-1)d=a1·2m+1-k,(k-1)d=a1(2m+1-k-1).

又a1+a2+…+ak-1+ak=3(ak+ak+1+…+am-1+am),且am=2a1，则

即k·2m+1-k+k=6×2m+1-k-12,

显然k≠6,则

所以k<6,将k=1,2,3,4,5一一代入验证知，当k=4时，上式右端为8，要使等式成立，此时m=6即可.

综上，当且仅当m=6时，存在k=4满足题意.

20.(1)f(0)=1,f′(x)=ex,f′(0)=1,g(0)=c,g′(x)=2ax+b,g′(0)=b.

(2)a=c=1,b=0时，g(x)=x2+1.

当x=0时，f(0)=1,g(0)=1,即f(x)=g(x).

当x<0时，f(x)<1,g(x)>1,即f(x)

当x>0时，令h(x)=f(x)-g(x)=ex-x2-1,则h′(x)=ex-2x.

设k(x)=h′(x)=ex-2x,则k′(x)=ex-2.

当xln 2时，k′(x)>0,k(x)单调增.故k(x)取极小值k(ln 2)=3ln 2-2ln 2=2-ln 4>0.于是k(x)=h′(x)=ex-2x>0恒成立，故h(x)在R上单调增，从而当x>0时，h(x)>h(0)>0,即f(x)>g(x).

综上，当x<0时f(x)0时，f(x)>g(x).

(3)证法1 ①若00时，ex>x2+1，故ex>x2>cx2,取m=0，即有当x∈(m,+∞)，恒有ex>cx2.

②若a≥1，f(x)>g(x)，即ex>ax2，等价于x>ln(ax2)，即x>2lnx+lna.

又t(x0)=e2a-2lne2a-lna=e2a-3lna-4>7a-3lna-4=4(a-1)+3(a-lna)>0，即存在m=ae2,当x∈(m,+∞)时，恒有f(x)>g(x).

综上，对任意给定的正数a,总存在正数m,使得当x∈(m,+∞)，恒有f(x)>g(x).

综上，对任意给定的正数a,总存在m,当x∈(m,+∞)时，恒有f(x)>g(x).

附加题

21.设P(x,y)是曲线C1上任意一点，点P(x,y)在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′,y′)，则有

22.由ρ=4sinθ,得ρ2=4ρsinθ，所以x2+y2-4y=0,即圆C方程为x2+(y-2)2=4.

23.(1)记“这3名学生选做A题”为事件C，则

故变量X的概率分布列为

X0123P18383818

24.(1)依题意，f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,f(4)=5.故f(1)f(3)-f2(2)=-1,f(2)f(4)-f2(3)=1.

(2)猜想：f(n)f(n+2)-f2(n+1)=(-1)n,n∈N*.

①当n=1时，f(1)f(3)-f2(2)=-1,结论成立；

②假设n=k时，结论成立，即f(k)f(k+2)-f2(k+1)=(-1)k.

由题意，知f(n+2)=f(n+1)+f(n)对n∈N*恒成立.则当n=k+1时，

f(k+1)f(k+3)-f2(k+2)

=f(k+1)[f(k+1)+f(k+2)]-f2(k+2)

=f(k+1)f(k+2)+f2(k+1)-f2(k+2)

=f(k+2)[f(k+1)-f(k+2)]+f2(k+1)

=f2(k+1)-f(k)f(k+2)

=-[f(k)f(k+2)-f2(k+1)]

=(-1)·(-1)k

=(-1)k+1，

即当n=k+1时，结论成立.

综合①、②，恒有等式f(n)f(n+2)-f2(n+1)=(-1)n,n∈N*.