2019年东京大学入学考试理科数学题目与解析
2020-04-28董心君
董心君
(东南大学交通学院 211189)
1 试题与解析
东京大学的自主招生考试起源于1961年，除了1969年年初由于“とうだいふんそう” (东京大学纷争)事件取消，至今已经是第58年.考试分为文理科，理科时间两个半小时，一共六道题，考试范围涉及不定积分、函数、立体几何、复数平面、线性代数等内容.本文翻译并解析了2019年的理科数学试题.
1.求定积分
解：如图1，设AQ长x，DR长y，
图1
S△DPR+S四边形BCRP
3.空间坐标内有5点A(2，0，0)，B(0，2，0)，C(-2，0，0)，D(0，-2，0)，E(0，0，-2)，将过线段AB中点M、线段AD中点N，且与直线AE平行的平面设为α.设点P(p，0，2)，其中2 (1)在同一平面上画出八面体PABCDE被y=0所截图形与α被y=0所截图形. (2)求出八面体PABCDE被α所截切面为八边形时p的范围. (3)若实数p在第(2)问的所求范围内，在由八面体PABCDE被α所截的平面内，点(x，y，z)在y≥0、z≥0的范围内移动，求坐标系内的点(y，z)的移动范围的面积. 得-2a-2c=0, 令a=1，得α：x-z-1=0， 其被y=0所截部分即为直线z=x-1. 八面体PABCDE可分为四棱锥P-ABCD与四棱锥E-ABCD，点P、E、A、C都在平面y=0上，因此八面体PABCDE被y=0所截部分为四边形AECP. 如图2，当2 图2 (2)不妨先讨论八面体PABCDE的 12条棱与α的交点个数. 当2 当p=3时，棱边PA、PB、PC、PD与α交于P点，不合题意. 当3 综上，当3 (3)求y≥0、z≥0的部分，考虑平面α与四面体P-ABC的截面即可， 由对称性可知，线段PD与α交点坐标 图3 4.n为大于1的整数 (1)求n2+1与5n2+9的最大公约数dn. (2)证明(n2+1)(5n2+9)不是整数的平方. 解：(1)n=1时，d1=2；n=2时，d2=1. 若n为偶数，显然n2+1与4互质，dn为1. 若n为奇数，不妨设n=2k+1，k≥1， n2+1=2(2k2+2k+1)，2k2+2k+1为奇数, 此时n2+1与4的最大公约数为2. (2)先证明一个命题：给定两个互质的正整数(均大于1)，则它们的乘积为完全平方数的充要条件是这两个数都是完全平方数.证明如下： 必要性：由于两个数互质，它们必定没有相同的质因子.考虑完全平方数的质因子分解，则其每个质因子必定都是偶数次幂，且把它们分配到互质的两个数后，每个数的质因子都必定还是偶数次幂，即两个数都是完全平方数. 充分性:显然. n为偶数时，dn=1，n2+1显然不是完全平方数，因此(n2+1)(5n2+9)不为完全平方数. n为奇数时，不妨设n=2k+1，k≥1，(n2+1)·(5n2+9)=4(2k2+2k+1)(10k2+10k+7)，dn=2，即证明(2k2+2k+1)(10k2+10k+7)为完全平方数，则必须2k2+2k+1、10k2+10k+7均为完全平方数，而10k2+10k+7的个位数恒为7，必不为完全平方数，即(n2+1)(5n2+9)不为完全平方数. 综上，命题得证. 5.回答以下问题 (1)n为大于1的整数.证明关于x的方程x2n-1=cosx有唯一实数解an. (2)对于第(1)问的实数解an，证明cosan>cos1. (3)对于第(1)问的给定数列{an}，求 (1)证明：-1≤cosx≤1，若存在实数解an，an∈(-1,1). 令F(x)=x2n-1-cosx，F(0)=-1，F(1)=1-cos1>0，F(-1)=-1-cos1<0. 0 在(-1，0)内，0 综上，命题得证. (2)余弦函数在(0，1)递减，第(1)问已知0 两边取极限，故 6.复数α，β，γ，δ与实数a，b满足下面3个条件, 条件1：α，β，γ，δ互异; 条件2：α，β，γ，δ为4次方程z4-2z3-2az+b=0的解; 条件3：αβ+γδ为纯虚数. (1)若α，β，γ，δ中恰好有2个实数，证明剩下的2个复数共轭; (2)用a表示b; (3)将α+β的范围在复平面上表示出来. 解：(1)由条件2得方程： (z-α)(z-β)(z-γ)(z-δ)=0, 展开后和原方程对比系数： α+β+γ+δ=2，αβγδ=b， αβγ+αγδ+αβδ+βγδ=2a, 不妨设α∈R、β∈R，则γ+δ∈R，γδ∈R，由韦达定理逆定理可知：γ、δ必为某一元二次方程的两根，由一元二次方程求根公式可知γ与δ必为共轭复数. (2)由条件3可知，方程必有复数解，故原方程有1或 2对共轭复数解，下分类讨论： 1)若方程有2对共轭复数解，不妨设方程4个解为m+ni，m-ni，1-m-ti，1-m+ti，其中m、n、t∈R. (m+ni)(1-m+ti)+(m-ni)(1-m-ti) =2m(1-m)-2nt∈R, (m+ni)(m-ni)+(1+ti)(1-ti) =1+m2+n2+t2∈R, 与条件3矛盾，不成立. 2)故方程有一对实数解，一对虚数解，设4个解为m，n，s-ti，s+ti，其中m、n、s、t∈R. 条件3成立，仅有m(s+ti)+n(s-ti)=(m+n)s+(m-n)ti为纯虚数, 故m=-n，四个解为±n、1-ti，1+ti.n、t均为不为0的实数. 故有(z-n)(z+n)(z-1+ti)(z-1-ti)=0，展开后与原方程对比系数，有： 消去参数，得b=-a2. (3)不妨令α=n、β=1-ti，α+β=1+n-ti, 图4 通过前文对2019年东京大学入学考试理科试题的介绍，可以发现东京大学的数学招生题有如下特点： (1)难度由浅入深，第一道积分题与国内研究生入学考试数学科目简答题难度相当，第二道平面几何、第三道题立体几何相当于国内部分地区高考中档题，后三道题难度较大，与国内知名大学自主招生压轴题相当. (2)知识内容考查范围大、数量多.第一题积分考察了学生的分部积分能力以及对常用积分公式的计算；第二题本质考察的是函数求极值问题；第三题与国内主流的立体几何考察内容不同，考察的是学生的三维图形想象能力；第四题涉及最大公约数，本质上考察的是质因数分解；第五题涉及数列、极限，其中第一问的放缩、第三问的求极限部分难度较大；压轴题是关于一元高次方程的解，解题所涉及的“棣莫弗定理”、“虚根成对定理”，是高中数字竞赛的教学内容. (3)题目数量少，步骤多，更注重考察学生的探究能力以及综合解题能力，每个题目各小问层次分明，难度递增，考察内容丰富.事实上，复试阶段的数学试题更能体现这一点，学生要在2个半小时的时间内解决三道题，极大考察了学生的阅读与研究能力. 由于中日两国教育资源、教学理念、高考制度不尽相同，我们不能对日本的招生题目进行完全照搬学习，但显然日本考卷在题型设置、考察内容等方面，是值得借鉴并学习的.适逢中国高考制度改革，国内知名大学的自主招生政策也陆续出炉，希望各方能通过借鉴国外的试卷的长处，改进现有的数学考卷，能更合理、有效地选拔人才.
2 总结与反思
