基于直观想象素养的构成和水平划分的数学高考试题研究①

刘 佳 刘攀坤 郭玉峰

(1.北京市通州区运河中学 101100；2.北京师范大学附属中学 100052；3.北京师范大学数学科学学院 100875)

1 直观想象素养的内涵和构成

数学核心素养是当前研究的热点.如何理解直观想象、直观想象素养在实践教学中的落实等已有很多研究成果.目前较为普遍的认识是，直观想象包括几何直观、空间想象两个方面，几何直观和空间想象有关但不同，空间想象一定程度依赖于几何直观.建立数与形的联系、借助几何直观使抽象问题形象化、构建直观模型使复杂问题简单化，是落实直观想象素养的几个关键环节[1]-[3].此外，也有研究是关于直观想象在中高考解题中的具体应用[4]-[7].

有关几何直观，按照《辞海》和《中国大百科全书》的定义，直观是感性认识.但就数学学科领域而言，是有不同解释和理解的.例如，数学家克莱因认为，数学依靠正确的直观，而不是依靠逻辑，数学直观就是对概念、证明的直接把握[8].希尔伯特则认为，数学中有两种倾向，一种是抽象的倾向，一种是直观的倾向.后者指更直接地掌握所研究的对象及其关系，即领会它们生动的形象[9].可见，几何直观主要是借助图形对问题的整体把握和深刻洞察，是利用图形来描述和分析问题，这已不仅仅指感性认识，也包括了理性认识.空间想象则是对客观事物的空间形式(空间几何体)进行的观察、分析和认知.

直观想象素养在《普通高中数学课程标准(2017版)》(以下简称“2017版课标”)的定义为：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.其四个方面的构成是：建立形与数的联系、利用几何图形描述问题、借助几何直观理解问题、运用空间想象认识事物.可见，直观想象素养有较为明确的定义及构成，但用几何直观和空间想象来定义直观想象实际是比较模糊的.为此，借助文献检索以及教学实践，我们将直观想象素养四个方面的构成具体化，见表1[10]：

表1 直观想象素养的构成

2 基于直观想象素养构成的不同水平划分

2017版课标从情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思规定了直观想象素养的三个水平，其中水平一面向高中会考，水平二面向高考，水平三面向大学自主招生考试.为更好揭示直观想象素养在四个构成成分的不同要求，我们梳理了如下的水平划分[11]：

(1)建立形与数的联系.这是数形结合的第一步，包括“由数到形”的转化以及“由形到数”的转化.例如，水平一要求能够在熟悉的情境中，抽象出实物的几何图形，建立简单的图形与实物之间的联系.体会图形与图形、图形与数量的关系.水平二要求能够在关联的情境中，想象并构建相应的几何图形，等等.

(2)利用几何图形描述问题.数形结合后，可以借助几何图形描述问题，这是数形结合的进一步，也是几何直观的初级形式.例如，水平一要求能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质，能够通过图形直观认识数学问题.水平二要求能够借助图形提出数学问题，能够通过直观想象提出数学问题.水平三要求能够在综合的情境中，借助图形，通过直观想象提出数学问题.

(3)借助几何直观理解问题.这是几何直观的深化，包括借助几何问题理解代数问题和几何问题等.例如，水平一要求能够在熟悉的数学情境中，借助图形的性质和变换(平移、对称、旋转)发现数学规律.能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路，体会数形结合.水平二要求能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法.能够用图形探索解决问题的思路.能够形成数形结合的思想，体会几何直观的作用.水平三要求能够综合利用图形与图形、图形与数量的关系，理解数学各分支之间的联系.能够借助直观想象建立数学与其他学科之间的联系，并形成理论体系的直观模型，等等.

(4)运用空间想象认识事物.除了几何直观描述、理解问题，还需要几何图形进行空间想象.例如，水平一能够在熟悉的情境中抽象出实物的几何图形等.水平二在交流的过程中，能够利用直观想象探讨数学问题.水平三通过想象，对复杂的数学问题进行直观表达，反映数学的本质，形成解决问题的思路.在交流的过程中，能够利用直观想象探讨问题的本质及其与数学的联系，能够在日常生活中利用图形直观进行交流.

以上水平划分，体现了2017版课标力图说明直观想象素养的不同层次要求，强调了数形结合，以及借助几何图形提出问题、解决问题，体现几何直观和空间想象的重要作用.这无疑对实践教学还是考试评价都具有一定的指导意义.

3 基于直观想象素养的构成和水平划分的一道数学高考试题研究

以下是2019年高考北京卷理科选择题的第8题，不妨称为例1.

图1

例1数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2=1+|x|y就是其中之一(如图1)．给出下列三个结论：

①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；

③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．

其中，所有正确结论的序号是( ).

A.① B.② C.①② D.①②③

这道北京高考题目的顺利解决，有赖于学生在平时练习中相关数学思维的训练和解题思路的探究.下面的例2和例3是学生平日练习或测试中遇到的题目，与例1的解决有很大相通之处.

例2如果把一个平面区域内两点间的距离的最大值称为此区域的直径，那么曲线x4+y2=2围成的平面区域的直径为( ).

图2

例3如图2，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( ).

A.4β+4cosβ

B.4β+4sinβ

C.2β+2cosβ

D.2β+2sinβ

例1是有关曲线与方程的题目，探究曲线经过的整点个数、图形上的点到原点的距离的最值，以及图形的面积大小的估计问题.学生平日练习中的例2、例3的解题思路将有利于例1的解决.其中例2是先给出平面区域的直径的定义，然后探究一个给定曲线方程所围成的平面区域的直径.例3是一道以圆为背景的动点问题，探究阴影部分面积的最大值.这三道题的特点是情境和题目问法都比较新颖，对学生数学思维的灵活性要求比较高，一定程度需要学生借助直观想象解决问题.下面我们基于直观想象素养的构成以及三个不同水平划分研究这三道题目.

3.1 基于直观想象素养内涵和构成的分析

下面我们基于直观想象素养的内涵以及其中的三个构成成分分析例1-3.

第一，建立形与数的联系.通过想图、画图、识图，建立形与数的联系，建立图形与数量之间的对应.

例1的命题①需要找出曲线C经过的所有整点.观察图形，不难发现所给的曲线是一个轴对称图形，而且曲线与坐标轴有交点，结合曲线方程，容易得到曲线C与坐标轴的交点：(-1，0)，(1，0)，(0，1)，(0,-1)，这四个点恰好都是整点.继续观察图形，寻找其他可能的整点.显然x轴下方不可能再有整点，进一步分析x轴上方的图形，当x取1时，发现(1，1)满足曲线方程；当x取-1时，发现(-1，1)也满足曲线方程，可见(-1,1)和(1,1)都在曲线上，也是曲线C经过的整点.

图3

第二，利用几何图形描述问题. 通过借助几何直观转化问题，“以形助数”，使复杂问题形象化.

例2根据平面区域的直径的定义可知，平面区域的直径是曲线上的两个动点之间距离的最大值，用代数的方法很难处理两个动点的距离问题.这时，不妨结合几何性质，从画曲线的图形或曲线方程容易发现，曲线既关于原点对称，又关于x轴和y轴对称，故可以把曲线所围的平面区域的直径转化为曲线上的点到原点距离的最大值的2倍，而曲线上的点到原点距离的最大值相对容易处理，达到“以形助数”的目的.

第三，借助几何直观理解问题. 借助几何直观理解问题，有助于化繁为简和问题的解决.

(1)由数到形，借助几何图形，利用几何方法解决问题

图4

图5

例1中的命题③是估计曲线C所围“心形”面积大小.“心形”不是规则图形，无法用公式直接计算面积.可以借助割补法，把不规则图形分割(或补全一个大的规则图形)为若干个规则图形，结合①中的六个整点，把这6个整点首尾依次连接就可以得到一个多边形，如图5，且这个多边形正好位于“心形”内部，只要求出这个多边形的面积，即可估计出这个“心形”图形的面积，借助几何直观发现这六个特殊的整点能够连成一个规则的多边形，是求解问题的突破口.

图6

例3中阴影面积随点P的变化而变化，要求阴影面积的最大值，需首先确定阴影面积取得最大值时点P的位置.阴影部分是一个不规则图形，使用割补法求解这个图形的面积.考虑到点A和B是圆上定点，连接AB，阴影部分被分割成一个△PAB和一个弓形，其中弓形面积不变，△PAB的底边AB不变，只需使点P到直线AB的距离达到最大，阴影部分的面积就达到最大.由圆的轴对称性知，线段AB的垂直平分线是圆的一条对称轴，当点P恰好位于弦AB的垂直平分线与优弧AB的交点时(如右图6所示)，△PAB的面积最大，此时阴影部分面积也最大.

(2)由形到数，借助几何直观，利用代数方法解决问题

用代数方法研究解析几何是很常见的方法，当遇到计算量特别大或者未知量特别多而一筹莫展时，不妨回归问题本身，挖掘题目中所蕴含的几何性质，把原问题进行转化，比如通过消参或借助不等式，将复杂的代数式转化为比较简单的式子，“以形助数”，快速解决问题.

例3中，当确定使阴影面积达到最大时的点P的位置后，接下来需要计算阴影面积.由于弓形没有专门的面积公式，所以需要对阴影部分重新分割，标出圆的圆心O，弓形的面积可以用扇形AOB的面积减去△AOB的面积，观察图7所示可得：阴影部分的面积正好是扇形AOB的面积、△POB和△POA的面积之和，由圆的性质可得△POB和△POA都是顶角为β的等腰三角形，最后根据扇形和三角形面积公式，即可算出阴影面积的最大值.在求解较复杂的代数问题时，借助几何性质，可以简化计算.

图7

3.2 基于直观想象素养水平划分的分析

以上我们基于直观想象素养构成成分分析了例1-3的解答.下面我们对这三道例题在直观想象素养的不同水平表现进行分析.

根据前面第一所述，“建立形与数的联系”有两个划分水平.水平一侧重于画图和识图，水平二侧重于通过画图、识图和辨图建立图形与数量之间地对应，建立数与形的转化.例1命题①借助图形先观察曲线与坐标轴的交点，再观察其他象限内曲线经过的整点，更多体现了水平一.例2要求曲线所围的平面区域的直径，先画出曲线方程的图形更多地体现了水平二.例3寻找阴影面积最大时点P的位置也是更侧重体现了水平二.

根据前面第二所述，“利用几何图形描述问题”主要强调借助图形认识和提出数学问题，有三个水平划分.水平一主要是借助直观明确目标，水平二侧重于转化原问题，建立新目标，水平三侧重于综合分析问题，化繁为简.例1命题②借助图形观察或测量估出曲线上的点到原点的最大距离，体现了水平一和水平二，例2把求曲线所围的平面区域的直径转化为求曲线上的点到原点的最大值则更多体现了水平三.

根据前面第三所述，“借助几何直观理解问题”主要指借助图形解决问题，有三个水平划分.水平一侧重于寻找图形与图形，图形与数量之间关系，水平二侧重于借助数形结合思想，

函数思想、方程(不等式)模型思考问题，水平三是数形结合的进一步深入，综合分析已知条件与目标之间联系，把复杂问题转化为较简单问题.例2用函数思想求曲线上的点到原点的最大值，更多体现水平二的要求，例1命题③构造整点多边形也是在水平一基础上更多体现了水平二的要求.

综上分析，同一个知识点可能会同时涉及到直观想象素养的前三个构成成分中的2个或3个构成成分，同一个内容可能也对应着某一直观想象构成成分下不同的水平，但不同知识点对直观想象素养的考查往往是有侧重点的，这体现了直观想象素养的丰富性和层次性.

4 教学启示与反思

我们基于直观想象素养的三个构成成分分析了2019年北京理科高考卷的一道试题及其相关的两道练习题，并进一步分析了这三道题目解答中所体现的直观想象素养的三个不同水平.为此，针对数学教学中如何借助直观想象帮助学生更好地认识问题和解决问题，我们提出如下建议和思考.

(1)培养学生想图、画图、用图的习惯，利用图形描述问题和分析问题

“在大多数情况下，数学的结果是‘看’出来的.而不是‘证’出来的，所谓的‘看’是一种直接判断，这种直接判断是建立在长期有效的观察和思考的基础之上[12].”很多数学问题看起来很复杂、抽象，比如复杂函数问题和新型曲线方程问题等，如果能够画出其相应的图形或图象，观察图形或图象的性质，通过“几何”的手段[13]，把问题中的代数形式的表象和几何直观的深层次含义建立起联系，加深对所求问题的认识和理解，达到用“直观”的眼光看问题的目的，进而将抽象、复杂的问题变得简明、形象，有助于快速发现问题的本质，以及快速寻找到求解问题的方法，在此过程中培养学生的直观想象素养.

(2)借助几何直观，从变换的视角认识问题和分析问题

数学教育家傅种孙先生曾言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然；不在知其然，而在知何由以知其所以然[14]．数学概念是抽象的，借助图形或图象可以在一定程度上帮助学生更好地理解这些抽象概念，借助几何直观可以更巧妙地解决一些复杂问题.对于一个看起来“陌生复杂”的代数式，如果能够挖掘出其内在的几何模型或含义，借助这个几何模型，不断地变换问题，就可以更清晰地认识问题，更快速地解决问题，这就真正学会了用几何直观的眼光看问题、思考问题.

(3)数缺形时少直观，形少数时难入微，培养数形结合的意识和能力

很多数学知识或问题既可以从“数”的角度去思考，也可以从“形”的角度去分析，“数”和“形”适当碰撞，才能更深入地直达问题的本质.正如华罗庚先生所说的，“数缺形时少直观，形少数时难入微”，很多解析几何、函数、不等式、立体几何等问题都具有“数”和“形”的双重性质，代数运算是外在，几何性质蕴含其中.借助数形结合，降低度量计算，突出直观想象素养[15]，有助于帮助学生构建数学问题的直观模型，探索解决问题的方法.

(4)关注不同层次学生的需求和能力，循序渐进，培养学生对直观的敏捷洞察力

直观想象由四个构成成分组成，每个构成成分对应着不同的水平.直观想象素养的构成成分和其对应的水平是螺旋上升的，对学生的能力要求也是不断提高的，但不同层次的学生的几何直观的洞察力不同，数形结合的意识和能力也不同，在构建几何直观模型解决问题时，要尊重学生的心理认知水平的差异，遵循学生的认知规律，依托最近发展区理论，在学生的现有水平和学生的未来水平之间无缝衔接，让不同层次的学生在对几何直观都有进一步的认识，逐步帮助学生形成数形结合的思想，帮助学生逐步建立起一定的数学直观，能够借助直观想象提出问题、分析问题和解决问题，真正落实直观想象素养课程目标的要求.