数学文化原创题（一）

沙国祥

埃舍尔是荷兰著名版画家，他的大量作品充分体现了数学的结构和想象之美，被誉为“画家中的数学家”.

（1）图1是埃舍尔创作的一幅作品，他将一个正方体四个面的对角线连成一个空间四边形（记为四边形ABCD），则这个四边形两条邻边AB和AD 之间的夹角是_______.（度数在0°到180°之间）

图1

图2

（2）正多面体是一类非常对称美观的空间图形，它的每个面都是正多边形，且每个顶点伸出的边数同样多.正多面体只有五种：正四面体、正六面体（即正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体，如图2.

正多面体常出现在埃舍尔的作品中，如图3所示的这幅作品是由正方体和正八面体互相交错而成的，正八面体的12条边正好穿过正方体的12条边的中点，则该正八面体隐含在正方体中的部分的体积占整个正八面体体积的______________.

图3

参考答案：（1）60°； （2）

提示：

（2）图4为一个正八面体，正八面体可以看成是由两个大正四棱锥拼合而得，6个顶点处切割掉6个小正四棱锥，每个小正四棱锥的棱长都是每个大正四棱锥的棱长的一半，因此割掉部分的总体积是每个大正四棱锥体积的即原正八面体体积的

正八面体的每个顶点处都切去一个正四棱锥以后，得到一个阿基米德体（如图5）.这个阿基米德体其实就是题中的正八面体隐含在正方体中的部分.

图4

图5