互逆变化法在求特征值与特征向量中的应用

2020-04-26覃姜色赵新暖

科技创新与应用 2020年11期

覃姜色赵新暖

摘要：矩阵特征值与特征向量的计算是线性代数的重要知识点。文章针对实对称矩阵的特征值与特征向量问题，介绍利用互逆变換法如何求解此类问题。

关键词：实对称矩阵;特征值;特征向量;互逆变换

中图分类号：O151.21 文献标志码：A 文章编号：2095-2945（2020）11-0179-02

Abstract： The calculation of matrix eigenvalues and eigenvectors is an important knowledge point of linear algebra. In this paper， aiming at the eigenvalue and eigenvector problems of real symmetric matrices， how to solve such problems by using the reciprocal transformation method is introduced.

Keywords： real symmetric matrix; eigenvalues; eigenvectors; reciprocal transformation

1 概述

矩阵计算是科学和工程计算的核心，特征值与特征向量计算是矩阵计算的基本问题之一。在教材[1]特征值与特征向量章节中，先构造特征方程，通过计算化简行列式求出特征值，由于行列式中含有特征值这一未知数，对于行列式的计算就不是那么简便。而特征值所以对应的特征向量则需要将特征值回代至特征方程，通过求解齐次线性方程组得到。在文献[2]中总结了Jacobi方法、QR方法和分治法求特征值。但这些方法并不是那么简便。这也是学生在学习计算特征值中遇到的常见问题。为此，本文介绍利用互逆变换法求解实对称矩阵的特征值与特征向量。

2 常见例题与解法

例1[3]：求实对称矩阵A=1 2 22 1 22 2 1的特征值和特征方程。

解：由矩阵A的特征方程，求特征值

得所求矩阵特征值为？姿1=5，？姿2=？姿3=-1。

（1）当？姿1=5时，得齐次线性方程组（A-5E）x=0，对其系数矩阵进行行初等变换化为行最简形矩阵。

得到导出组x1-x3=0x2-x3=0，解得基础结解系为p1=（1，1，1）T。因此k1p1（k1≠0）是矩阵A对应于特征值？姿1=5的全部特征向量。

（2）同理，当？姿2=？姿3=-1时，得齐次线性方程组（A+E）x=0，对其系数矩阵进行行初等变换化为行最简形矩阵。

得到导出组x1+x2+x3=0，解得基础结解系为p2=（-1，1，0）T和p2=（-1，0，1）T。因此k2p2+k3p3（k2k3≠0）是矩阵A对应于特征值？姿2=？姿3=-1的全部特征向量。

分析：此例题是利用教材中常用的通过计算特征方程求解特征值，再通过将齐次线性方程的系数矩阵化简为行最简形矩阵求解出特征向量。计算步骤较多，对于三阶行列式中包含未知量的化简，这本身就不便利。对实对称矩阵为四阶或更高阶矩阵，则需要计算化简的行列式便更为复杂。为此将介绍互逆变换法求解实对称矩阵的特征值与特征向量。

3 相关定义与理论证明

定义：把矩阵的下列三种变换称之为行列互逆变换。

（1）互换i，j两行，同时互换i，j两列;

（2）第i行乘非零数k，同时第i列乘;

（3）第i行k倍加到第j行，同时第j列-k倍加到第i列。

定理：设A为n阶对角化矩阵，且

？茁i=（bi1，…，bin）（i=1，2，…，n），则？姿1，？姿2，…，？姿n为A的全部特征值，？琢i属于？姿i的特征向量。

证：由矩阵行（列）初等变换等价于左（右）乘相应初等矩阵，及行列互逆变换的定义，知PT为若干初等矩阵的乘积，从而可逆，且PTAT（PT）-1=D，即P-1AP=DT=D，AP=PD，

则

因此该方法求出的？姿i为A的特征值，？琢i为A的对应特征值？姿i的特征向量。为了运算方便，约定：

（1）ri+krj表示矩阵第j行k倍加到第i行;

（2）ci-kcj表示矩阵第j列-k倍加到第i列。