近世代数教学改革的实践与探索

2020-04-25桑彩丽

牡丹江教育学院学报 2020年1期

桑彩丽

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵阳 550025)

一、引言

近世代数是高等院校数学与应用数学、信息与计算科学等专业十分重要的专业基础课和专业必修课，是高等代数课程的延续与提高，主要介绍群、环、域的基本概念、基本知识、基本技能和基本方法，有助于提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。作为贵州民族大学数据科学与信息工程学院近世代数课程的任课教师，本文就目前贵州民族大学数学与应用数学、信息与计算科学专业近世代数课程课堂教学中存在的问题谈谈教学改革的必要性和紧迫性，并从教材的选择、教学内容、教学方法、考核方式等方面进行探索和研究，提出改革方案，以提高学生学习近世代数的积极性和教师的课堂教学效果。

二、教材和教学中存在的问题

(一)现用教材的特点及不足之处

近世代数是一门内容高度抽象、理论性强、难教难学的课程。目前我校数学与应用数学、信息与计算科学两个专业选用的教材为张禾瑞先生于1978年修订的《近世代数基础》[1]。该教材为近世代数课程的经典教材，在教学实践中我们发现该教材有一些不足之处。例如：1.教材内容比较精简，没有实际应用的例子，且例题少。2.没有从具体的实际问题中引出所要阐述的概念或定义，或者在给出概念或定义后没有给出相应的例子进行呼应，这会使学生误认为在现实生活中没有真正的例子能验证或呈现该概念。3.与已学习过的《高等代数》[2]课程联系不够紧密，没有将近世代数是高等代数的延续和提高这种思想体现出来。这些不足使得教材内容显得抽象，学生的学习兴趣不高。由于该教材内容较少，在教学过程中作者想补充其它教材上的一些内容，如循环群子群的结构、群在集合上的应用、Sylow定理等，但由于近世代数太抽象，学生对教材外的新内容不感兴趣，学生要求仅讲授教材上的内容。实际教学效果反映了由于该课程概念多、理论性强、内容抽象，学生对学习该课程不感兴趣等问题，其他教师在教学中也发现了类似的问题[3][4][5][6]，因此应该对近世代数教材进行改革。

(二)教学方法存在的问题

贵州民族大学属于普通本科院校，大部分学生来自贵州，学生的数学基础较差，没有较强的抽象思维能力，也没有做过这方面的训练。在近世代数的教学中教师普遍采用先给出定义(或简单举例后引出定义)，然后讲引理、定理、推论的方法。由于近世代数的概念、理论过于抽象，这种教学方式只能让学生记住定义，领会不到定义的来源以及要揭示的本质问题。学生会认为这门课程的内容只不过是由一些枯燥乏味的概念和定理构成的，没有实用性。学生有了这样的认识，会大大降低学习的兴趣，更谈不上学好这门课程。在课堂教学中有的学生看手机、心不在焉，就反映了这些问题，因此要根据学生的实际水平改革教学方式。

(三)考核方式不够科学、合理

在考核环节，目前我校数学与应用数学、信息与计算科学两个专业近世代数课程采用考勤(占5%)、作业(占20%)、阶段测验(占20%)、课程小论文(占5%)、期末考试(占50%)这五种方式对学生进行综合评价和考核。目前期末考试成绩占的比重较大，会使学生为了提高期末成绩而机械地记忆定义、定理，忽视了近世代数的应用背景及对学习近世代数兴趣的培养。

三、教学改革的几点建议

针对近世代数课程教学实践中存在的问题，笔者给出教学改革的几点建议。

(一)在编写教材和课堂授课时增加知识点的来源和应用背景介绍

近世代数(也称抽象代数)把我们熟悉的多项式、矩阵、映射、函数、变换等对象作为集合的元素，把集合中元素的运算法则(例如，加、减、乘、除等)抽象为不同的代数结构来研究(例如，群中元素的运算法则通称为乘法、环和域中元素的两种不同的运算法则分别通称为加法和乘法)，而没有讲为什么要这样做？这样做有什么用处？仅仅是为了研究各种代数结构具有的最基本的性质。这样就把群、环、域的来源和背景掩盖了，致使教材内容抽象、枯燥、难懂，概念的来源和应用背景匮乏、缺乏与实际问题的联系，因此在编写校本教材或课堂教学中，应增加知识点的来源、应用背景介绍和实例分析。例如，在引入群的概念时，可以讲关于近世代数由来的数学史，讲伽罗瓦引入“群”的概念证明了“高于四次的代数方程不能用根式求解”的典故，并将伽罗瓦所用理论和证明方法[6][7]讲给学生听；在讲解群论相关知识时引入多面体着色问题[7]；在学习子群时可讲解用子群的乘积、生成元证明三阶魔方的可解性等问题，以培养学生学习的兴趣。

(二)删增部分教学内容

《近世代数基础》[1]距今已有41年了，其中很多概念和理论，如第一章的集合、映射、变换、代数运算、结合律、交换律、分配律等，学生在高中阶段或本科阶段的课程中已经学过，这部分内容可以删减。随着新知识、新方法、新技巧、新应用的产生，在教学内容上要做到与时俱进，就要增加许多新的研究成果作为教学内容，例如，可以在教学中增加群在集合上的应用、Sylow定理、合成群列、单群、可解群、自由群、正多面体及有限旋转群、有限域、中国剩余定理、群与几何和数论的联系等知识。也可以选择多种参考教材，如赵春来和徐明曜编著的《抽象代数I》、胡冠章和王殿军编著的《应用近世代数》[7]、裴定一和郭华光编著的《近世代数》[8]等，从中汲取精华并挑选部分适合本校学生认知且容易理解的概念、定理等基本知识作为教学内容，从而使得教学内容更加丰富。在对信息与计算科学专业本科生授课时，可增加有限域、正规扩域等内容，并介绍它们在计算理论、信息安全等领域上的应用；Sylow定理具有极强的应用性，可增加该定理并通过Polya记数定理给学生介绍其在组合数学中的应用。通过删减已修内容、增添最新研究成果的方式让学生了解群、环、域等理论的巨大应用背景，激发学习兴趣。

(三)加强与高等代数等课程的联系

近世代数课程中有些内容是将高等代数中的多项式、矩阵、变换作为集合的元素进行研究，并揭示它们的基本规律，因此在教学中应充分利用学生刚刚学习过的高等代数知识，尽量将高等代数课本中没有的知识点进行扩充，以便让学生认识到近世代数是高等代数的后继及发展。例如，在讲解群论时，可以让学生证明：实数域上全体同阶可逆矩阵对于矩阵乘法作成一个群，由于矩阵乘法不满足交换律，因此不构成交换群。又如，在讲解环论时可以让学生证明：有理数域上全体同阶矩阵构成环，但不构成除环；全体一元多项式也构成环。在讲授教材(即文献[1])第四章整环里的因子分解时，可以将素元、整除、最大公因子等结论作为高等代数教材(即文献[2])第一章多项式里素数、整除、最大公因式等概念和结论的推广。再如，在引入“同态”和“同构”概念之前，可以先让学生回忆解析几何中三角形“相似”和“全等”的概念及判定方法，这样学生会将“相似”与“同态”“全等”与“同构”联系起来，并作类比加强理解和记忆。

(四)在课堂教学中强调从具体到抽象的思维过程，帮助学生理解近世代数中的抽象概念

近世代数中的概念、定义、定理等内容具有高度的抽象性，大部分学生在学习时都会感到困难，以致望而生畏、不感兴趣，这就要求我们在课堂教学中对概念和定义的叙述方式和教学方法进行改革。教学中要坚持从具体到抽象的思维方法，尽可能先讲解具体的例子，然后由具体的例子引出抽象的概念和定义，最后讲解相关的知识点，让学生知道这些知识是从实际例子中抽象出来的，不是凭空想象出来的，以此提高学生的学习兴趣，帮助学生理解并掌握这些抽象的数学知识。例如，在讲授教材(即文献[1])的第一章第八节“同态”、第九节“同构”的定义时，可以举例子：

logc(a°b)=logc(ab)=logc(a)+logc(b)

(五)在课堂教学中让学生讲解并体验近世代数的应用

在课堂教学中学生问的最多的问题是：为什么要学近世代数？为什么要学群、环、域等知识？学这些知识有什么用？若仅仅告诉学生，学近世代数肯定是有用处的，群、环、域等概念不是凭空想出来的，它们是为解决某些实际问题而抽象出来的，现在你们要做的就是认真系统地学习近世代数，等到用到的时候就融会贯通了，这样的回答会让学生认为老师根本没有回答他们的问题，而是回避了他们的问题，这样的回答提不起学生学习近世代数的兴趣和积极性。在某些章节的课堂教学中教师可以采用翻转课堂、换位教学和讨论式教学[9]等多种教学方式，互换学生与教师的角色，鼓励学生上讲台，调动学生学习积极性与主动性。教师可以在课前预习阶段安排对近世代数感兴趣且成绩较好的学生提前备课，查找所要讲述知识点的应用背景，并让他们在课堂教学的引入阶段上讲台讲授查找到的应用背景，然后让其他学生分组讨论，解决科学和生活中的实际问题，学生按组阐述自己的解决方案，最后教师总结并用近世代数的知识解决该问题，让学生体验学习近世代数的乐趣，认识到近世代数是一门有用的课程，以此提高学生学习的积极性和主动性。

例如，在讲授了群对集合的作用后，教师可以让学生分组讨论开关线路问题：由n个开关可以组成多少种本质上不同的开关路线?[10]在学习了四元数除环后，可以让学生查找并分组讨论：四元数除环在图像处理中的应用[11];在讲到域的概念及相关知识时，可以让学生分组讨论：用尺规作图能解决三等分角的问题吗?学生分组讨论并给出回答后，教师分别用群、环、域的知识讲解并解决开关电路、图像处理、尺规作图不可能三等分角等问题。从教学实践看，诸如此类的问题和知识都让学生们兴奋不已，使他们认识到书本上那些枯燥的知识在实际问题中竟然有这么多的用处，慢慢地学生学习的兴趣就提高了。