依托“符号意识”培养建构数学模型关键能力

盛小青 (江苏省常州市新北区飞龙中学 213022)

1 问题的提出：符号意识的认识及解读

《义务教育数学课程标准(2011年版)》(下称《课标2011》)提出十大核心概念：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新思想．十八大也提出“教育的根本任务在于立德树人”，教育部在义教课标顶层设计中明确数学学科“立德树人”的目标在于提高学生数学学科的核心素养，即数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析．符号意识与数学抽象、逻辑推理有明显交集，由此可见数学符号意识的地位和重要的数学价值．符号是数学的语言，也是数学的工具，更是数学的方法．数学符号具有的抽象性、明确性、简略性、通用性等在数学发展中起着举足轻重的作用．广义数学符号系统包括数字、字母、图形、关系式等，学生在数学学习中无时无刻不与符号打交道，只有认识符号的重要性，以数学符号作为媒介去解剖数学问题，才能抽象推理出与实际问题情境相匹配的数学模型．所以新课标把原来的“符号感”升级为“符号意识”，就是从意识形态上提示我们运用符号要成为一种主动的心理倾向，既要理解并运用符号来表示数、数量关系、变化规律，还要有主动运用符号参与运算和推理的意识，更要理解符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式．在教学中重视符号意识的渗透，才能培养学生快速有效地建构匹配的“数学模型”，才能把实际问题有效化归为纯数学问题去分析解决．

2 符号意识包含的内容和建构数学模型的作用解读

数学符号最本质的意义在于它是抽象的结果，数的符号、字母符号、数和字母的运算及推演都是结合生活实践加以抽象，逐渐形成法则.可以说数学符号与数学概念、命题一样是一种成熟的数学表达形式，是重要的数学思想方法之一，发展学生的符号意识是重要的教学目标并具有丰富的现实意义．

(1)符号的本质在于可以表示数、数量关系、变化规律

数字本身就可以作为大小排序的符号，引入字母表示数后的经典应用主要有两类：一类是捡到人民币若干元的失物招领问题，可以用捡到人民币n元这一多数人认可的形式初步感受用字母符号表示数；第二类是数青蛙腿的顺口溜，在用数字念顺口溜越来越难并发现顺口溜无穷无尽时，可以借助字母表示顺口溜中呈现的变化规律，用一句话即可完全概括．数学学习总是由易到难，循序渐进，符号表达的对象、符号关系式或数学模式语言去表示特定的数学变化规律均经历了从简单到复杂、从相对具体到相对抽象的过程．如果在数学学习中能长期渗透同一数学对象可以用不同的符号去进行数学表达的意识，如关系式、表格、图象等，而且这些表达方式可以互相转换，那么我们就明晰了数学模型的基本要素——符号．教学中常用的数形结合、化归思想与数学表达方式的有效转换也不谋而合．

(2)符号的核心价值是使用符号进行符合逻辑的运算和推理

运算和推理是数学活动最重要的基本形式.如果说用符号表示具体问题中的数、数量关系、变化规律等是数学思考的第一步，那么一定并合理的逻辑法则支撑下使用符号运算和推理才是至关重要的．而学生使用符号进行运算和推理的意识和能力都是目前特别欠缺的．教学中，只有不断渗透以符号为媒介进行关系转换、合情推演，结合演绎推理、模型抽象等思想方法，才能有效提高学生模型的建构能力，最终建构合理的“数学模型”去解决实际问题．

(3)“用”符号是数学表达和数学思考的重要形式

数学符号光“懂”是不够的，关键是会“用”.所谓的数学表达就是学生在解决实际问题时采用的必要方式，有效的数学表达需要以符号作为媒介进行数学语言表达．有效的数学思考也必须借助符号进行，只有符号参与的数学表达和数学思考才能超越数学对象的具体属性，从形式化的角度进行逻辑推演，才能保证结果的严谨性、唯一性，保证方法的可操作性和通用性．

3 从一堂课谈符号意识的渗透与建构数学模型的培养

《课标2011》明确指出，数学教学必须结合概念、命题、公式的教学，不断培养学生的符号意识，尽可能通过实际问题或现实情境创设，引导、帮助学生理解符号以及表达式、关系式的意义，进而对现实情境问题进行符号的抽象和表达．特别强调发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程的本质就是先进行符号的抽象与表达，再使用符号进行运算、推理、思考；要主动引导学生经历这一完整过程，才能积累学生运用符号的数学活动经验，感悟符号所蕴含的数学思想本质，真正培养学生的符号意识，提高建构数学模型的能力．“用数学的眼光看问题”这节课正是基于本目标展开的教学设计.下面就结合九年级上“用数学的眼光看问题”这节课的教学设计，谈如何通过符号意识帮助学生把生活中的实际问题转化为纯数学问题并建构成分式“模型”的设计思路．

教学目标 (1)理解糖水浓度的分式表示；(2)能用分式表示糖水浓度的变化；(3)构建数学模型体验生活中的数学，提升学习数学的兴趣．

重难点 数学模型的构建．

教学过程

·板块1——用数学的眼光看一个生活问题

问题1给杯中加一定水，然后加糖，根据加糖多少糖水就有浓有淡，我们如何用数学方式表示糖水的浓淡程度(简称糖水浓度)呢？

问题2给刚才杯中的糖水继续加糖，这时候感觉糖水如何？你能用数学方法来描述你的感觉吗？

教师引导分析：(1)刚才杯中的糖水浓度如何表示？(2)继续加糖，这时候糖水浓度如何表示？(3)变甜是什么意思，怎样用数学方式表达糖水变甜？

(学生独立完成)

教师归纳：在这个问题中，要分离出原来、现在的浓度如何表示，变甜的数学本质是浓度变大．

设计思路从生活中常见的实际问题出发，让学生主动去发现糖水的浓淡问题就是糖的质量与水溶液质量的比值问题.可以用字母分别表示变化中的糖和水的质量，就能建构用符号表示的基本数学模型——分式.这一数学思考过程中要引导学生主动经历符号的抽象和表达过程，逐步培养学生主动用符号的意识．

问题4用数学方法尝试说明一杯糖水中继续加水后变淡了．

(学生独立完成，同伴互查)

设计思路尝试分析一杯糖水加水变淡问题，就是要求学生能在符号表达的基础上初步尝试使用符号进行符合逻辑的运算和推理，把探索糖水变浓变淡问题抽象转化成研究分式的值在分子分母变化后的变化问题.这两个问题意在让学生初步感受数学过程往往就体现于“数学符号之间的运算”这一数学思考的本质．

·板块2——进一步探究有关糖水中的现象

问题1现有两杯糖水，一杯浓，一杯淡，进行混合．混合后你的感觉怎样，如何用数学方式来表示这种感觉？

教师引导分析：(1)浓的糖水、淡的糖水浓度如何表示？(2)混合后的糖水浓度如何用式子表示？

(学生独立完成后，同伴相互说一说)

教师归纳：(1)如何表示浓淡不一的糖水；(2)如何将生活的感受转换成数学表达．

问题2上述问题中两杯糖水混合后的浓度是不是就是两杯的平均浓度呢？

教师引导分析：(1)这里涉及的三个浓度如何表示？(2)题目的意思如何用数学来表达？(3)不妨取一些特殊值尝试，发现什么规律？(4)如何来说明是否相等？

(学生独立尝试，同伴说一说)

教师归纳：(1)这里包含哪几个概念；(2)如何说明是否相等.

设计思路经过数学抽象，学生已经发现糖水的浓度问题符号表达的本质就是糖的质量与糖水混合液的质量比值——分式的值，引导学生思考比较两杯不同的糖水的浓度问题可以使用分式的加减乘除符号参与运算和推演.如果推演后得到两杯糖水浓度的最终符号结果具有相同的数学表达式，那么两杯糖水一样甜，反之则不一样．符号推演及运算是超越了研究糖水问题的具体属性的高度抽象，在板块1中一杯糖水浓度的基础上更进了一步，对学生运用符号进行数学思考的要求又上了一个台阶．两杯糖水混合后的浓度是否与两杯糖水的平均浓度相同的问题对学生挑战比较大，可以鼓励学生先用一些特殊值去进行计算猜想，再使用符号去进行运算、推理，验证猜想的正确性和科学性，感受运用符号的数学表达和数学思考在数学学习中的独特思维品质．

·板块3——糖水中可以得到一个的结论

问题1一大杯糖水分别倒入三个小杯中，大杯、小杯中的糖水浓度有什么特征？

教师引导分析：(1)这里的浓度有什么特征？(2)你能发现什么？

(学生独立思考后同伴说一说)

归纳：(1)这里得到了分式的一个很重要的性质(等比性质)．

问题2假如把这一大杯分给五个小杯后你能得到怎样的数学性质？

(独立完成，同伴交流)

设计思路基于学生的生活经验，很容易理解大杯中的糖水倒入不同的杯中，不会改变糖水的浓度．要引导学生把生活经验转化成数学表达即符号表达，那么学生的符号意识就能在潜移默化中增长．在使用符号的数学表达中发现当分式的分子与分母以相同的比例变化时分式的值不变，也就自然生成了分式的等比性质这一数学模型．很多数学的定理和性质正是通过生活经验和符号运算进行相互验证后得出的，这种认知结构既符合学生的认知经验，也进一步让学生感受到符号作为媒介的数学表达形式的价值所在．

·板块4——归纳与整理

问题1今天我们学习了如何用数学方式来描述糖水的浓淡，也就是用数学的眼光来描述自然现象，其实我们以前也经常这样去尝试：

(学生读一读)

问题2有一桶水质量为100 kg，用来洗一件含有akg脏物的衣服(脏物能完全溶于水)，每次洗后留在衣服上的脏水1 kg，问：这桶水分一次洗衣服干净，还是平均分两次洗干净？

(教师引导分析题意后，学生独立完成)

问题3如何判断两个图形“像”与“不像”？

我们知道，生活中有一些平面图形之间并不完全相似，有时感觉两个图形“像”的程度大一点，有时感觉两个图形“像”的程度差一点.那么我们怎样用数学方式来描述两个图形“像”与“不像”呢？解决下列问题：

图1 图2 图3

图1中三角形为正三角形，图2和图3中三角形都为等腰三角形．我们的视觉中，图2中等腰三角形形状更像(更接近于)图1中正三角形．请你用数学方式来描述等腰三角形与正三角形的接近度(如果一个等腰三角形与另一个等腰三角形相似，我们就认为这两者与正三角形接近度一样或一样“像”)．

(教师引导分析题意后，学生独立完成，小组交流)

设计思路本环节是用数学的眼光看问题的拓展与延伸，进一步凸显了数学符号具有高度的概括性和一般性特征.在把现实问题中的生活语言转换成符号语言时，我们要抓住其数学本质予以解读和表征，要灵活地、全方位地去认识和理解符号的意义和符号之间的关联性．特别是同一符号的多重意义的理解，如糖水浓度问题的符号表达也可以表示走路的快慢、电流的强弱、物品的价格高低等.学会使用数学符号去进行合理的数学表达，那么生活中很多实际问题都可以转化为数学问题去思考、去表征，从而建构数学模型去解决．

4 结束语

欧洲文明的起源地是古希腊，古希腊人认为世界就是一个简单的、符合逻辑、能以数学表达的世界.这一数学认识既与我们今天倡导的符号意识不谋而合，也为符号意识提供了强大的理论支撑．在遥远的欧洲古典时期数学家就有如此的远见卓识更彰显了符号意识的重要地位，在试图全面提升学生数学素养的今天，我们更要在教学中引导并帮助学生牢固树立符号表示、使用符号运算推演并解决实际问题的意识，长期渗透符号意识，培养学生主动建构数学模型，学生解决实际问题的能力才能真正提升并收到实效．