取势、明道、优术：立意素养的高中数学习题讲解三层次——以2019年浙江高考数学第16题为例

张旭强 (浙江省杭州绿城育华学校 310012)

在基础教育阶段，好的数学教育应更多地倾向于培养学生的数学思维习惯，寻找学生认知的最近发展区，并在此基础上开展暴露数学思维过程、提升理解能力的探究活动.教师在这个过程中协助学生从混沌的模糊状态，转变成有意义的、有结构的状态，这是一个认知建构的过程[1]，也是学生素养提高的过程．

章建跃博士认为数学教学需要遵循“取势、明道、优术”[2]，笔者认为习题讲解也是如此，尤其是高考真题的讲解．习题教学从教师教的“取势”，顺应学生的认知，因势利导；通过师生活动使学生“明道”，教师阐述题中道理，追本溯源，学生悟出问题的真谛；学生需要结合自身的基础进行“优术”，整合认知结构，反思择优．本文以2019年浙江高考第16题为例加以说明．

笔者任教班35位学生用时15分钟做此题，得到的反馈信息如表1：

表1 学生答题情况

通过数据分析和学生访谈，在此题的讲解过程中笔者通过以下三个层次的数学教学活动，帮助学生重塑认知结构．

层次1讲解切入要“取势”，顺应学生的认知，因势利导

这里的“势”相当于章建跃博士说的“理解学生”.教师要了解学生当前的认知水平，只有基于学生现有的认知水平给出问题，学生才会有自己的解题思路，即认知水平决定了学生的解决方法．

笔者翻阅了答题正确的学生的解题过程，无一例外地对题中的|f(t+2)-f(t)|进行了直接代入计算，计算f(t+2)-f(t)=a(t+2)3-(t+2)-at3+t=a(t+2)3-at3-2，接下来对这个式子进行化简，这便是教学中应取的学生的“势”.当然，这里会出现部分学生因立方和公式不熟悉而产生的计算错误，需要提醒学生立方和公式的正确运用．

解法1和解法2是绝大多数学生认可的求解的“势”，对于学生已有的“势”，教师要因势利导．讲解过程中，笔者提问：既然解法2可以换元，为何不在一开始就对这个式子进行整体换元？于是得到解法3．

这样就变成学生熟悉的一次绝对值函数“V”字型图象的问题．

因势利导的“导”，要导得及时、充分.就此题，笔者觉得还应继续往前，将|6at2+12at+8a-2|看成|(6at2+12at)-(-8a+2)|或|6at2-(-12at-8a+2)|，把最小值问题转化为两个函数图象在同一直角坐标系中横坐标相等时两点间距离(称之为纵向距离)的问题．这两种思考角度虽然高于学生现有的认知构成，但是教师可以将此作为学生思维的最近发展区，触手可得．

若0

解法5同解法4,转化为r(t)=6at2与s(t)=-12at-8a+2之间的纵向距离问题，这里不详细展开了．

此外，此题还可以从切比雪夫最佳函数逼近理论进行讲解分析[3]．对于“取势”，笔者觉得还有一层理解，就是要找准学生认知的最近发展区，因此针对笔者所教的学生，就不从这个角度进行讲解分析了．

层次2分析把控要“明道”，阐述题中道理，追本溯源

教师要让学生懂得题中所蕴涵的数学原理，并通过这样的活动提高学生问题解决的能力．层次1的讲解是建立在学生已有认知基础之上的，学生的认知很多时候有个特点就是“拿来主义”，这个“拿来主义”指的是学生一拿到题就直接动手算，而忽视了对题本身数学原理的分析．所以在顺势而为之后，教师需要追本溯源，这点也是教师在讲解过程中的重点．

本题考查的函数为f(x)=ax3-x(a>0)，教师首先应引导学生如何分析这个函数.从函数的性质出发，这是一个三次项系数为正的奇函数．回顾整个高中数学的学习，学生在必修一“幂函数”的学习中了解了函数y=x3，之后却很少对这个函数进行系统研究，所以学生不明此函数的“道”．为此，笔者在讲解过程中设置了以下几个环节来突破这个学生的认知难点．

活动1 画出下列函数的图象：①y=x3；②y=x3-x．

第一张图利用幂函数图象绘制，第二张图有的学生利用导数分析单调性绘制，有的利用高次函数图象“奇穿偶回”绘制，对于后者，笔者额外要求再绘制③y=x3+x的图象．通过活动1的绘图发现本题考查的三次函数图象的形态有两类，笔者把这两类分别称为“一路单调型”(图1)和“一波三折型”(图2)．这是对函数图象形的宏观把控．

图1 “一路单调型” 图2 “一波三折型”

活动2 对于|f(t+2)-f(t)|，设问学生这个式子在哪见过，有什么几何意义？

生：在学习函数导函数时．

师：那么这个式子是研究什么的？

生：研究函数相邻两个单位长端点纵坐标差的绝对值大小．

师：也就是说这个式子是帮助我们来研究这个函数图象在某两个单位定义域所对函数图象的微观特征．

活动3 题组一

①已知t∈R,函数f(x)=x3，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：2)

②已知t∈R,函数f(x)=x3+x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：4)

③已知t∈R,函数f(x)=x3-x，求|f(t-1)-f(t+1)|min．(答案：0)

通过①②(图3)，学生能够感知当三次函数图象为“一路单调型”时，所求式子在t=0时，即位于原点左、右两个单位定义域内函数值变化最小．

通过③(图4)、④(图5)、⑤(图6)，学生能够感知当三次函数图象为“一波三折型”时，所求式子的值变化取决于研究区间的大小及图象上原点两侧零点之间的距离．

图3 图4

图5 图6

活动4 题组二

①已知b∈R，函数f(x)=x3+bx，若存在t∈R，使得|f(t+m)-f(t-m)|=0，则实数b与m需满足的关系是．

对于①，可以采用数学软件辅助教学，让学生先进行直观感知，然后再从解析式角度进行计算，可以得到满足的关系是m2+b=0．

在教学中笔者通过设置若干不同的数学活动，帮助学生从宏观到微观理解此题考查的函数图象形态，刨根问底，揭示问题背后的数学原理．

层次3方法选取要“优术”，整合认知的结构，反思择优

教师讲完习题不能就此结束，应该让学生就教师分析的思路进行有效操练.这里的优化应该是学生在教师分析后的操练及操练后的反思，以及在新的认知结构上对于同类问题的解决．层次3决定了此习题讲解教学的成功与否．

学生在教师讲解后从|f(t+2)-f(t)|的角度出发对式子进行了整理化简、讨论求值，并对几种不同的解法再次一一进行自主学习，即思维的重组和建构，从函数f(x)=ax3-x的图象角度出发去思考图象的特征，完善此题的解法．

解法6当a>0时，图象形态是“一波三折型”的，且图形关于原点对称.

令t=m-1，则|f(t+2)-f(t)|=|f(m+1)-f(m-1)|.

有效的反思能够促进学生日后解题的“优术”．笔者在教学中从学生反思得到以下疑问：

(1)这几个函数形式上都没有x2项，如果函数改为f(x)=x3+x2会怎么样？

(2)此题的函数可以换成其他函数吗？

对于这些疑问，教师在备课时应有适合教学班学情的知识拓展准备，笔者准备的是继续研究三次函数的中心对称性．这里就要从f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)这个一般式说起，最简单的三次函数f1(x)=ax3(a≠0)，它的图象是以原点为中心的中心对称图形.f2(x)=ax3+d(a≠0)的图象是在y=f1(x)的基础上上下移动|d|个单位，它的中心对称性也没有改变．f3(x)=ax3+cx(a≠0，c≠0)是两个奇函数相加，虽然从图象特征来讲，有“一路单调型”与“一波三折型”，但是最终都还是奇函数，y=f3(x)的图象特征还是关于原点成中心对称图形.若在此基础上再添加一个常数项d,它的中心对称性也没有改变，即y=f4(x)=ax3+cx+d(a≠0，c≠0，d≠0)的图象也是一中心对称图形．

那么f5(x)=ax3+bx2(a≠0，b≠0)呢？

结合这个问题，笔者将原题中的函数进行改编：

改编2 已知函数f(x)=xlnx-x，t∈R，求|f(t+2)-f(t)|min．(答案：0)

此题讲解完后,笔者在检查学生的整理本时看到：“这个题我拿到就算了，还是应该再多想想”“这个题考查三次函数的形，我都没有注意到，原来三次函数图象也是和二次函数图象一样是有规律的”“绝对值问题可以转化为两个函数纵坐标之差，在分析函数时，下次要多想想”“三次展开我算错了，下次计算要仔细注意符号”，等等．看到这样的自我反思，笔者认为我们的教学初见成效，教师教学的行为促进了学生学的改进．

最终检验学生核心素养的高低，必须通过解决数学问题来体现[4]，因此习题教学必不可少．教师在讲题时，应做到“取势”“明道”“优术”这三个层次．通过这样的教学行为，促成学生有效的数学学习过程，并在此过程中促进其自身认知结构的整合．好的认知结构的建立，有助于学生在掌握知识与技能的同时理解知识的本质，感悟知识所蕴含的数学思想，积累数学思想和实践的基本活动经验.分析解题过程不仅能“改进”解答，而且总能提高“理解”水平[5]，并在此基础上发展数学学科核心素养．