回归课本，提高高三数学一轮复习高效性的有效途径

周颖娴 (江苏省常熟中学 215500)

“源于课本又高于课本”是高考命题的一个基本原则，这一原则为我们教师在高三复习时指明了方向．纵观这几年的高考试题，相当数量的试题都能在课本中找到原型，因此在高三数学复习中必须立足课本.通过回归课本，让学生掌握数学的基础知识、基本方法、基本思想.同时，由于高考的选拔功能，在立足课本的基础上，我们又要充分挖掘课本中蕴含的数学思想和方法．但是，现在存在的问题是，许多教师拿着一套复习资料从头讲到尾；或许也有教师意识到了课本的重要性，也让学生经常翻阅课本，但仅仅停留在看课本的层面，并没有意识到复习中课本对提高学生能力的重要性．下面，笔者就在一轮复习中回归课本的重要意义和回归课本的具体做法谈自己的一些观点和具体操作，不足之处敬请同仁批评指正．

1 高三数学一轮复习中，回归课本的重要意义

笔者对江苏省2008—2017年高考数学试题进行分析，经仔细整理、逐题对比，发现这9年江苏高考真题(必做题部分)中与课本题目直接相关的题目很多(见表1)．

表1

从上表可以看出，高三复习过程中的教材开发是整个复习过程中非常重要的一个环节，也是高三数学复习的一个高效环节．

(1)回归课本，有助于使学生重视基础知识，重视知识形成过程，重视概念、定理的理解和应用，重视公式的灵活应用

数学教学中，定义要一个个地教，定理要一个个地证明，公式要一个个地推导．这些定义、定理、公式及其内容等反映的数学思想方法分散在中学不同阶段、不同内容的教学中.高三一轮复习的重要任务是梳理知识，让知识系统化、网络化，从而使学生真正形成良好的数学认知结构．由于高一高二阶段数学知识是以模块的形式呈现的，学生对整个知识的网络结构可能并不熟悉，因此，在高三复习阶段，教师可以培养学生通过回归课本，站在数学整体的高度与课本对话，让不同板块的知识形成交汇，成为系统．同时，回归课本有助于学生检查自己在一些重要结论与基本方法等知识点掌握上的欠缺与错误，进而更准确更有效地解题．当然，在课本中，比这些结论更重要的还有方法，有些学生记住了公式却忘记了方法，其实不仅公式重要，推导公式的方法也很重要，很多高考题需要用到的正是那些推导公式的方法．

(2)回归课本，有助于使学生重视课本例题、习题中潜在思想方法的挖掘和应用

课本的例题、习题是教材核心内容的程序化展现，教材例题、习题对开发学生的学习潜能具有复习资料难以比拟的功能.教师研究教材例题、习题，不应只停留在题目所涉及的数学概念和基础知识上，而要深度挖掘题目背后所蕴含的内容，提炼其数学思想方法.教师需要充分利用课本例题、习题的示范引领功能，尽最大可能地发挥其潜在价值，通过对题目的条件或结论的改变，做到以例启思、以例带类、举一反三、触类旁通，达到对知识的深化理解，实现复习教学的减负增效．

(3)回归课本，有助于使学生规范解题，掌握“通性通法”，积累解题经验和方法

高考数学试题重视和突出对三基的考查，强调通性通法，淡化解题技巧．因此，在复习备考中要注重回归课本，吃透课本中例题、习题的处理过程，规范解题过程，最终形成解决一类问题的通性通法，以不变应万变．

另外，在历年的高考阅卷中，学生由于书写不规范扣分的情况屡见不鲜.在高考答卷时，如何才能做到规范解答，哪些结论不能直接套用，哪些过程不能省略，哪些表述不能随意，等等，这些问题到最后只能依据课本，需要课本来正本源清，而复习资料难免会存在一些不规范的东西．

2 高三数学一轮复习中，回归课本的具体做法

回归课本并不是对课本的简单重复，而是在高考的背景下基于课本又高于课本，是对课本的再开发和对知识的再升华．复习时就需要以课本为依据，整合知识板块，构建知识体系.笔者结合“圆锥曲线”一章内容，具体做了如下一些工作．

(1)回归基础，理清课本章节之间的联系，揭示本质属性，形成知识的交汇融合

高三一轮复习的重要任务是梳理知识，让知识系统化、网络化．在复习中，我们既要把每一个逻辑关系、每一个细节都搞清楚，又要让学生站在数学整体的高度与课本对话，让不同领域的知识交汇，成为系统．

案例1图1给出了圆锥曲线整个章节的流程图：首先学习圆锥曲线的概念，通过方程研究了圆锥曲线的基本性质，运用圆锥曲线的方程和性质解决一些实际问题．最后，在直线、圆及圆锥曲线的基础上，引入曲线方程的概念，介绍求曲线方程及用方程研究曲线之间关系的基本方法，进而我们还可以通过求曲线与方程的基本流程，回顾直线方程与圆的方程的探求过程，从而可以给出求一般曲线与方程的一些基本方法(本文的案例4通过一些问题给出相关求曲线方程的基本方法)．当然，我们还可以对上述流程图进行相关补白．

图1

例如，对图1可以补白相关问题：1)直线、圆及圆锥曲线的几何背景是什么？2)直线、圆及圆锥曲线是如何定义的？3)如何推导直线、圆及圆锥曲线方程？有哪些方法？4)如何通过曲线方程研究曲线性质？其基本思想方法有哪些？5)曲线与方程的概念是什么？6)求曲线方程的一般步骤是什么？

(2)理清知识的本质属性，揭示概念的内涵，准确把握基本概念

我们常常听见学生考完试后说：“老师，这个题目我应该会的，只是当时粗心了，没有正确运用公式”,或者“老师，这个题目我没有看到限制条件”等等.殊不知，很多造成错误的主因就是对基本概念、基本技能、基本方法掌握得不牢固．因此，在复习中要设计有针对性的问题，对基础知识、基本技能和基本方法进行巩固和提升，让学生认清问题的本质，理清概念的内涵，提高复习的有效性．

在复习“曲线与方程”这一节时，我们首先可以回顾曲线与方程的概念，进而回想探求直线方程、圆的方程及圆锥曲线方程的步骤，从而进一步认识曲线与方程的相关关系．

案例2观察表2中对应的方程与曲线，说明它们有怎样的关系.

表2

本题是由苏教版《数学》(选修2-1)第61页练习第5题改编而来.这样的设计采用了概念复习习题化的策略，通过练习，了解曲线与方程概念的来龙去脉，知道曲线C上的点的坐标(x,y)都是方程f(x,y)=0的解以及以方程f(x,y)=0的解(x,y)为坐标的点都在曲线C上；通过方程与图形的对比、方程与方程的对比，揭示概念的内涵，认清代数中的数与几何中的形相互统一的关系，深刻理解解析几何的核心思想——数形结合思想，从而准确把握数学概念的本质属性．

(3)挖掘知识的根本，弄清知识的生成过程

高考数学，是对重要知识和思想方法的考查.数学知识经过数学家的不断锤炼，具有高度抽象性，在知识的生成过程中，也体现着数学家们的思考方式、处理方法.因此，在复习中还需要教师讲清知识的生成过程，并且能够内化为学生能够掌握的思想方法．比如，在椭圆标准方程中，不仅公式重要，推导公式的方法也很重要．其实，很多高考题需要用到的正是那些推导公式的方法．

案例3在复习“椭圆方程及其性质”这一节时，不妨先让学生回顾焦点在x轴上的椭圆标准方程的推导：设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，它们之间的距离为2c，椭圆上任意一点到F1,F2的距离和为2a(2a> 2c).以F1,F2所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系xOy，试推导椭圆的方程．

教材给出的数学定理、公式的发现过程往往是简单的，是师生共同探索获得的那一种最容易理解的方法，证法也是单一的，似乎未能很好地暴露出发现和证明的探究全过程.因此，教材腾出空间，通过设问，将完整的探索机会让与学生．当然，对教材中数学定理、公式的发现与证明过程进行有益拓展，应着眼于创新能力的培养，以探究发现为线索，让学生在探索中获得学习的乐趣和研究的能力，在方法应用中感悟数学的思想智慧．

运算能力是高考的一个重要考查内容．上述推导椭圆标准方程的三种方法都体现了一定的运算技巧:方法1体现了最常规的根式有理化的运算处理方法；方法2、3虽然推导简单，但是需要学生对表达式做充分的观察、认识，对能力的要求比较高．同时，在推导方程的过程中，其中一些方法也揭示了数学概念的本质属性．在回顾椭圆标准方程的推导方法以后，我们还可以给出以下的练习题：

图2

练习1 如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C由圆弧C1和圆弧C2相接而成，两相接点M,N均在直线x= 5上，圆弧C1的圆心是坐标原点O，半径为13，圆弧C2过点A(29, 0)．

(1)求圆弧C2的方程；

(2)已知直线l:x-my- 14 = 0与曲线C交于E,F两点，当EF= 33时，求坐标原点O到直线l的距离．

在本题第(2)问中，其计算的基本思想恰好体现了推导椭圆方程的方法．

数学概念的本质属性是该类事物变化当中保持不变的属性．掌握数学概念的本质既需要分析其定义形式，更需要在比较、变化等联系性活动中揭示其内涵．所以，真正能够衡量和甄别学生认识能力和水平的不是他们对静态知识的记忆、再现和简单应用，而是他们从数学活动中获得的知识出发，对静态结果知识所进行的动态理解、阐释、批判、综合和创新．

(4)挖掘例题、习题的教育教学功能，提炼数学思想方法

数学教育家波利亚曾说：“一个专心的认真备课的教师能够拿出一个有意义的但又不复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域．”高考命题的一个基本理念是“源于课本，高于课本”．高考试题“源于课本”的特点决定了在高三复习中必须立足课本，让学生掌握数学基础知识、基本技能、基本思想方法.同时，高考的选拔功能又决定了高考试题又“高于课本”，因此，在立足课本的基础上，还需要挖掘课本例题、习题所蕴涵的数学思想方法、拓展性结论、解题技能与方法，把方法交给学生．

案例4求平面内到两个定点A,B的距离之比等于2的动点M的轨迹方程．

本例是苏教版《数学》(选修2-1)第63页例2，其背景是阿波罗尼斯圆.首先，教师可以通过设问引导学生复习求曲线方程的一般步骤，通过板书，突出解题规范；其次，教师可以通过变式(以下给出)，帮助学生系统地梳理中学阶段常见的求轨迹方程的方法，使学生明确在什么情况下用哪种方法．

变式1 在△ABC中，AB= 2，顶点C满足AC= 2BC，求顶点C的轨迹方程．

变式2 在△ABC中，AB= 2，顶点C满足AC=λBC(λ> 0)，求顶点C的轨迹方程．

变式3 在△ABC中，AB= 2，顶点C满足AC+BC=λ(λ> 2)，求顶点C的轨迹方程．

变式4 在△ABC中，AB= 2，顶点C满足 |AC-BC| =λ(0 <λ< 2)，求顶点C的轨迹方程．

变式5 在△ABC中，AB= 2，顶点C满足AC= 2BC，求△ABC面积的最大值．

变式6 在等腰△ABC中，腰上中线长AD= 2，求△ABC面积的最大值．

变式7 在△ABC中，AB= 2，顶点C满足AC= 2BC，求△ABC重心G的轨迹方程．

变式9 (能力提升)设点M在圆C：(x- 4)2+ (y- 4)2= 8上运动，点A(6, -1)，O为原点，求MO+ 2MA的最小值．

本例的背景是阿波罗尼斯圆.从本例的处理过程可以看出，通过对课本例题或习题的变式训练，可以培养学生提出问题和解决问题的能力，可以帮助学生寻找知识之间的联系与区别，把握知识的本质属性．

“源于教材又高于教材”是高考命题的主旋律，教材中例题、习题反映了相关数学理论的本质属性，蕴涵着重要的数学思想方法，具有典型的解题示范作用，有着较高的开发潜质．从本例可以看出，探究与例题、习题类型、结构、方法相似的变式题，可以培养学生提出问题、分析问题和解决问题的能力.同时，以课本中的例题、习题为依托，进行有针对性的变式探究、拓展、改造，其目的在于让学生学会把具有共性的知识间的内在联系条理化、系统化，注重知识的形成过程，尤其要深刻体会其中蕴涵的数学思想方法，以达到优化知识、开阔视野、活跃思维目的，使得所学知识得以系统整合．

教材凝聚了专家们的心血智慧，教材中的内容具有很强的基础性、典型性与示范性，它是教师教学的基础和根本，也是命题的立足点．教材中的定理、公式的证明与推导都体现了规范性与严谨性，体现了数学中的基本思想方法.教材中的例题习题都是经过专家精心构思、反复推敲后选定的，大部分题目比较基础，入口浅，有利于学生夯实基础知识；同时，教材中的许多例题习题还能进行深入的挖掘与拓展．因此，数学教材不仅是教师施教、学生学习的主要载体，也是高考命题的重要依据．高三数学复习中，认真专研教材，活化教材内容，进一步开发教材，拓展其教育教学功能，是高三数学复习的有效途径．