圆与椭圆等比点的类比性质及其应用

蔡祖才 (江苏省常熟市中学 215500)

所谓等比点，是指直线上四个点组成的某三条线段长依次成等比数列的点的关系，也就是若在线段OA上存在两点B，C，满足OA·OC=OB2，我们称A，B，C是关于点O的等比点，它类似于直线上的调和点列．圆与椭圆是具有相似性的两个对象，本文从圆的一个等比点性质出发，通过类比得到椭圆相关的性质，并证明和应用．

图1

性质1如图1，已知点F是圆O内异于圆心的一定点，射线OF与圆O交于M，在射线OF上存在一点H，使得OF·OH=OM2，过点F的动直线与圆O交于点A，B，求证：∠AHF=∠BHF．

证明当AB与OM有部分重合时，显然成立．

因为OA=OB，所以△AOB为等腰三角形，故∠OAB=∠OBA，从而∠AHO=∠BHO，即∠AHF=∠BHF．

评注这是圆的一个最基本的等比性质，由于OF·OH=OM2，所以OF，OM，OH成等比数列，由此容易得到一对相似三角形，再通过等腰三角形可以得到角度相等的性质．

在圆中简单的性质通过类比椭圆得到不简单的结论．

图2

证明当直线l′垂直于y轴，结论显然成立．

而 Rt△AA1H∽ Rt△BB1H， 故∠AHA1=

∠BHB1．

因为∠AHF=90°-∠AHA1，∠BHB1=90°-∠BHB1，所以∠AHF=∠BHF．

评注通过类比，将圆变成椭圆，若定点分别变为焦点和准线与坐标轴的交点，就可以用椭圆的第二定义及相似三角形，从而得到类似的结论．

证明当直线l垂直于y轴时，结论显然成立．

图3

评注若将圆变成椭圆，两定点的横坐标之积仍保持为a2，则相似结论同样成立.我们利用了解析法加以证明，充分体现了用代数方法解决几何问题的解析法思想．

图4

当AA1≤BB1或P在直线HA1的其他位置时，同样能证明结论成立．证毕．

评注将圆问题中的一个定点改变到动直线上的任意一点，得到类似的结论，利用相似三角形的证法也没有改变．

图5

评注将圆变成椭圆，定点定直线分别变为焦点与相应的准线，这样的结论可用极坐标思想的方式加以证明．

图6

评注类比椭圆中等比点的一般结论，我们可用解析法加以证明，可见解析法是一种基本的方法之一．

(1)求椭圆C的方程．

(2)设点P(4，2)，点M在x轴上，过点M的直线交椭圆C交于A，B两点．

②设直线PA，PB，PF的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在定点M，使得k1+k2=k3恒成立？若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．

评注本试题(2)②是结论4特例的逆命题．

应用2(苏州市2018-2019学年第二学期学业质量阳光指标调研卷高二文科数学19题)在

(1)求椭圆C的方程.

(2)若点P的坐标为(4，3)，求弦AB的长度.

(3)设直线PA，PB，PF的斜率分别为k1，k2，k3，问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

评注本试题(3)是结论4特例的逆命题．

(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；

(2)设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

评注本试题(2)是结论3的特例．

类比思想是中学数学中一种较为常见的数学思想，类比教学成为中学数学教学常常使用的一种教学手段．正如波利亚解题表对如何解题提出了大量问句或建议，这是解题者的自我诘问、自我类比和自我反思．本文以圆和椭圆等比点的类比研究为例，利用类比思想对数学问题的研究，从圆到椭圆，从特例到一般，得到类比结论和方法，这是研究数学问题的最基本方式，值得读者一试．