探究“隐形椭圆” 培养关键能力*

赵加营 王腾飞 (江苏省宿迁中学 223800)

椭圆与圆极为相似，它的封闭性特征可以类比圆的诸多性质．不仅如此，椭圆又是圆锥曲线的“领头羊”，和双曲线、抛物线等开放曲线有着共通的特性(如对称性、离心率、光学性质等)．因此，对椭圆的研究具有极其重要的地位和作用．这一点不仅体现在现实世界的广泛应用及数学世界的理论研究中，也表现在现行高考制度下的考题内．在圆锥曲线解题教学时，发现部分椭圆问题往往不是以显性的形式出现，而是隐藏在题设所给的信息中，只有通过化归转化，让椭圆显现出来才能峰回路转，从而迎刃而解．对于这一类“隐形椭圆”问题，根据题设中隐含信息把椭圆显化是解决问题的关键．在转化、显化的过程中，可以培养学生的认知能力(如逻辑推理、数学建模、数学抽象、直观想象等)、合作能力、创新能力等数学关键能力．

1 第一定义显示椭圆

例1已知△ABC的周长为6，AB=2，求△ABC面积的最大值．

图1

以上思路是不少学生拿到题目后的第一选择，但是这里存在以下两个问题：(1)运算量偏大，出错机会多；(2)尽管结果是对的，但变量x的范围是错误的．事实上，x的范围应该是04-x且2+4-x>x，即1

点评数学概念是最基础的知识，是数学推理的基础．对于数学概念内涵和外延的准确理解和掌握是学好数学的前提．而应用数学概念解决数学问题往往能起到事半功倍的效果，常常能举重若轻，一点即通．运用概念，往往没有复杂的运算，也可避免设置的陷阱．第二种思路就是通过椭圆的第一定义，把隐藏的椭圆显现出来．在显化的过程中，体现出数形结合的思想，从而培养等价转化的思维能力．

另外，苏教版教材选修2-1中利用椭圆的第一定义的问题有：

第33页习题7：已知圆F1:(x+1)2+y2=1，圆F2:(x-1)2+y2=9．若动圆C与圆F1外切，且与圆F2内切，求动圆圆心C的轨迹方程．

图2

第33页习题11(操作题)：准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F(图2)，然后将纸片展开，就得到一条折痕(为了看清楚，可把直线l画出来)．这样继续折下去，得到若干折痕．观察这些折痕围成的轮廓，它是什么曲线？

第76页本章测试6：已知点N(2,0)，圆M:(x+2)2+y2=36，点A是圆M上一个动点，线段AN的垂直平分线交直线AM于点P，则点P的轨迹方程是．

2 第二定义揭示椭圆

点评数和形是构成数学问题的两个基本要素，正如一枚硬币的正反面，两者的恰当转换有利于问题的顺利解决．本题中，观察条件中等式两边的结构，通过其几何意义的联想，运用椭圆的第二定义揭开隐藏的椭圆，寻找到动点的轨迹．事实上，几乎所有数学问题的解决都是在不断地等价转换问题，由复杂到简单，由陌生到熟悉，由综合到基本，由抽象到具体．加强学生等价转换问题的思维能力的训练，也是对数学思维的灵活性、发散性、创造性的训练，有利于发展数学思维能力、提升数学思维品质．

3 圆的伸缩演变椭圆

图3

点评从教育哲学的观点看，某些知识结构之间存在着必然的内在联系，椭圆与圆正是如此．本题中，揭开隐藏的椭圆后，可以清楚看到：在伸缩变换中，圆与椭圆互为演变；从类比推理上，得出两者一致性的结论(斜率乘积为定值)．沿着这样的思路，还可以探究出两者诸多类比的性质．对培养学生的推理论证能力(特别是合情推理中的类比推理)，揭示数学知识内部联系的认知能力，都是大有裨益的．

4 Dandelin双球缔造椭圆

图4

分析 此问题中两个平面之间的距离其实就是两球心O1,O2之间的距离，也就是两个半径与中间“悬空”部分的距离．“悬空”的距离怎么求呢？似乎是比较困难的．但如果换个角度，设球O1,O2与平面γ切于F1,F2，点P是平面γ与圆柱相交的曲线上任一点，过点P的母线与平面α,β交于点K1,K2．由于PF1,PK1均为球O1的切线，所以PF1=PK1．同理，PF2=PK2．故PF1+PF2=PK1+PK2为定值．根据椭圆

点评本题有着悠久的数学文化背景和丰富的圆锥曲线知识．追溯圆锥曲线的起源，2000多年前，古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262-前190)采用平面切割圆锥的方法得到圆、椭圆、双曲线、抛物线．并且，在其《圆锥曲线》著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学教科书中关于圆锥曲线的全部性质和结果．事实上，现在教材中的第一定义是阿波罗尼斯《圆锥曲线》中的一个命题[1]．

另外，比利时数学家旦德林(Dandelin，1794-1847)在圆锥与圆的切线等研究上取得了巨大的成果．举世闻名的旦德林双球就以他的名字命名．旦德林在圆锥里上下各塞进相离内切球，球面与切截平面的切点就是焦点，平面与圆锥的截线是圆锥曲线．旦德林双球将圆锥曲线的截线定义和轨迹定义如此神奇地融为一体，真是让人叹为观止．同时，圆锥曲线的第二定义在此也巧妙呈现：截线上的点到切点的距离与到相应两个平面的交线的距离之比为离心率．

对此问题的探究，一方面可以利用圆锥曲线的丰富内容进行数学史、数学文化的教育．另一方面，在研究问题的过程中，平面与空间不断转换，线面相切与面面相切相互交织，平面距离与空间距离不断转化，数学抽象、直观想象能力能够得到有效的训练与提升．

以上几个“隐形椭圆”的例子只是冰山一角．事实上，球的斜投影、一些星体的运行轨道、某些动点的轨迹(如帕普斯在《数学汇编》中研究的“三线轨迹”和“四线轨迹”[2]等问题)等等都会“显露”出椭圆来．从高观点上看，数学的研究对象之间存在着某种内在的联系，一边是“显山露水”的，另一边是“藏而不露”的，两者之间似乎有一根无形的丝线，将它们密切地牵连在一起，从一边沿着这条丝线抽丝剥茧，便可顺利地到达另一边．在教学中，需要教师精心设计，精选问题，启发学生善于捕捉提供的信息，发挥联想，加强联系，积极联动，将思维游走在“丝线”上，去揭示隐藏起来的椭圆、圆等．在此过程中，培养学生的认知能力、合作能力、创新能力等数学关键能力．