从一道高二期末调研题谈应用题的教学

丁益民 (江苏省苏州实验中学 215011)

1 问题的提出

苏州市2018-2019学年第一学期高二期末调研卷中命制了以下应用题：

图1

光对物体的照度与光的强度成正比，比例系数为k1，与光源距离的平方成反比，比例系数为k2(k1,k2均为正常数)．如图1，强度分别为8,1的两个光源A,B之间的距离为10，物体P在连结两光源的线段AB上(不含A,B)．物体P到光源A的距离为x．

(1)试将物体P受到A，B两光源的总照度y表示为x的函数，并指明其定义域；

(2)当物体P在线段AB上何处时，可使物体P受到A，B两光源的总照度最小？

从实际考查结果来看，本题成了整份试卷的分水岭和重灾区.说简单似曾相识，因为本题取材于苏教版选修2-2教材第36页例4;说不难可实际情况却出乎预料，大量的零得分导致本题均分不高．甚至有部分教师感慨：“讲过此题的班级却没有没讲的班级做得好．”如此现状不得不引人深思，应用题的教学到底出了什么问题？

2 问题的分析

2.1 从试题中的“争议点”谈命题的科学性

为避免这样的命题争议，在命题时对涉及其他学科知识背景的内容时应遵循其他学科的惯例和约定，减少其他学科知识中专业性知识对数学考查内容的影响,以提高数学命题的效度．如本题在设置时可以仿照教材，用唯一的参数k作为比例系数，这样就比较合理，可让试题本身的测试效果更加客观有效．

2.2 在模型求解中谈应用题的讲评处理

本题在解模策略上至少有两种.

策略1运用导数．这应是本题真正考查的意图所在.课本上在解方程f′(x)=0时避重就轻地写到:“解得x=2”，而实际上这恰是多数学生难以突破的计算节点和思维障碍.从调研试题的实际情况看,很多学生要么不能准确求导，要么不能准确地解出x.因此，这应该是讲评中需要用“慢镜头”重点讲的节点．在求导环节上，可尝试对函数模型的形式作一些调整．

调整2 将原函数中的分式结构改写成分数指数幂，再运用幂函数的求导法则求导，即f(x)=k[8x-2+(x-10)-2].这样很容易得到f′(x)．

在解方程环节上，即如何解-16x-3-2(x-10)-3=0，可引导学生观察方程的系数和指数关系，并考虑幂函数(可选y=x-3或y=x3)在区间(0,+∞)上的单调性，由此突破解方程时所遇到的计算障碍．

总之，在应用题的讲评上,应研究解答过程中学生可能会产生的困惑和障碍，根据学生的实际情况进行现场指导，这样才能提高讲评的质量．

3 问题的反思

(1)应用题的命题要考量模型的科学性和教学的导向性

笔者曾在文[3]中指出，一道好的数学应用题应为应用题的教学提供良好导向，特别是在一些大型考试(模考、调研测试甚至高考)中,更要关注试题的教学导向功能．现在很多应用题的命制有个不好的倾向——将一个纯数学问题生硬地套个实际背景，连数据都缺乏真实性.这样的假应用题对学生数学建模能力的培养根本没有好处．命制应用题不应是简单的“拿来”与“照搬”，而是在真实客观的背景下选择学生熟悉的、模型典型且有测试空间的数学模型进行命题，对涉及其他学科的知识要慎重,甚至有时要作一些必要的解释说明，以确保应用题的真实性与科学性;特别要舍弃那些与数学建模无关的非本质因素(如这里考题中的系数问题)，真正发挥数学应用题的教学功效，让“数学建模”落到实处．

(2)应用题的解题教学要多在学生思维节点处花功夫

正如前文所述，为何没讲的班级比讲过的班考得好？问题就出在“讲什么、怎么讲”上面.如若讲不到问题的关键处、讲不到学生的思维障碍(节点)处，讲评的效果肯定不会理想．以往对于应用题的解题教学，更多地停留于分析如何建模以及建立什么模型，却忽视指导学生如何解模.仅仅板书一遍的效果甚微，学生根本没有建立起与之匹配的相关数学活动经验，以后遇到类似问题自然还是做不出．在应用题的解模教学中，应根据学生实际的认知结构和能力水平选择适合的解模策略，讲授的方法不在于多和妙，而在于能在学生的最近发展区将其思维障碍讲透彻，让学生形成“为何这样去做”的经验，特别是在某些思维节点处要舍得花时间，适时合理地进行示范指导．这样不仅能让学生突破思维瓶颈与运算障碍，更重要的是让不同认知起点的学生均能获得一定的活动经验，评讲效果自然深刻有效．

最后需要指出的是，一道优秀的应用题需要经过反复修改、斟酌再三才能最终编制成形.我们在教学中要认真对待应用题的教学，而不是通过“刷”应用题来提高“分数”.通过应用题教学提升学生“数学建模”的素养才是真正的教学要义．