实验中感悟 思考中明理——以平面图形密铺的实验教学为例

王 龙 (江苏省南京师范大学苏州实验学校 215000)

苏科版数学教材每册都有一本《数学实验手册》，目的是让学生经历实验探索的过程，在动手操作中感悟数学．本文对平面图形的密铺的实验教学进行整理，以供参考．

1 平面图形的密铺教学流程

教学环节1 欣赏生活实例

欣赏图案(图1).

图1

课前学生已经预习过教材，知道什么是平面图形的密铺(以下简称密铺).课堂上,教师首先让学生回答什么是密铺.

平面图形的密铺：用形状和大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间没有空隙、也没有重叠地铺成一片，叫做平面图形的密铺，也叫平面图形的镶嵌．

接着，学生欣赏生活中常见的图案，感悟密铺在生活中随处可见、有研究的价值，为后面的实验操作打好基础．教师着重提问：你能说说你对“密铺”中的“密”的理解吗？学生自主提炼出关键点：图形之间没有空隙，图形之间没有重叠．

学生在预习的基础上，通过对图片的欣赏、观察，发现生活中到处存在数学图案之美；以此激发学生自主创作的热情，为探究数学现象的本质打下基础．

教学环节2 实验操作

活动1 只用同一种正多边形图形，哪些图形可以密铺？

学生利用手中的材料，在实验单上粘贴拼图，部分作品如下(图2).

图2

教学组织：学生展示拼图，并总结出正三角形、正方形、正六边形可以进行密铺．

深度思考：你能发现这些拼在一起的角满足什么数量关系吗？(同一顶点处，各角之和为360°)

进一步说明：6×60°=360°，4×90°=360°， 3×120°=360°.对于x个正n边形，若关于x的方程nx=360有整数解，则图形能够密铺．

活动2 只用两种正多边形图形，哪些组合可以进行密铺？

学生小组合作拼图，部分作品展示如下(图3).

图3

学生在拼图时遇到多种情况，比如拼图有空隙、拼图有重叠，再重新操作，而有的小组先计算再进行拼图．学生在实验操作中感受到分类组合，有些小组试图优化实验操作的方案，从而自发对图形中角的数量关系进行思考．教师拿着学生的作品追问：“大家看这个拼图，很美观！但是有没有一点缝隙或者一点重叠，你怎么能知道呢？”有学生回答可以看出来，但最后大家一致认定要通过计算进行验证.此时学生的思维趋于理性，思维也更加严谨，这就实现了从感性到理性的升华．

结论：正三角形和正方形、正三角形和正六边形、正方形和正八边形能组合密铺．

第三，定价方法单一。正如上文所言，南通鹏越纺织有限公司坚持成本定价为主，市场竞争定价为辅，这是一种典型的成本定价法。但这种定价方法十分机械，不能囊括所有。且面对灵活多变的市场，也能有着较为全面客观的掌控。

活动3 同一种任意三角形能否密铺？

启发学生从正多边形到一般多边形的研究．

学生通过小组合作，发现同一种任意三角形能够密铺．教师追问为什么,学生从问题的本质出发，得出结论：在同一顶点处能拼成360°角．同样地，在教师的追问下，学生易得：同一种任意四边形也能密铺，因为四边形内角和是360°．

问题：同一种任意五边形能密铺吗？

教师展示目前发现的十六类五边形的密铺图案(图4)．

图4

教学环节3 课堂小结(图5)

图5

2 回顾与反思

反思这节课的教学，有以下几点思考.

(1)从简单实验到理性思考.课前预习使学生对于本节课的内容有了浅层的了解，目的是使课堂学习的针对性更强，也让学生体会怎样才能做到深度地学习．学生喜欢动手操作，感觉好玩，却容易忽视实验后的反思．教师及时引导，让学生在直观感知的基础上更进一步，由感性到理性，揭示现象的本质．数学的价值在于抽象归纳，要把直观感受变成抽象的规律， 就像学生操作时能直观感受看到密铺，但通过理性思考(在同一个顶点拼成360°)则思维更加严谨．

(2)从问题研究到方法渗透.本节课的实验操作设计简单，学生易于独立完成或小组合作完成.学生在实际操作中不知不觉地感受到研究问题的基本方法，提升学生学习数学的基本素养．课堂上学生经历了由生活现象到数学问题、由图形能否密铺到方程是否有解、由研究简单图形到探究复杂图形之间的关系、由具体的实验现象到抽象的数学模型、由特殊实验素材到一般的几何图形问题研究的过程．问题在于学生能否在每个阶段的实验中归纳出抽象的结论，能否感悟研究问题的方法．学生先经历一种特殊图形的拼图操作，部分学生能从数量关系的角度总结，为接下来的深入研究提供参考.在后面的活动中，学生类比前面的经验很快总结出一般性的结论，并根据数量关系列出方程，此时就实现了揭示问题本质的目的．史宁中教授认为，教学不仅要交给学生知识，更要帮助学生形成智慧．

(3)从数学知识到数学文化.从生活中随处可见的建筑图案就能联想到在建筑师的设计中，不同的几何元素可以表达不同的艺术理念，也表达了设计者的文化追求．学生在欣赏美的同时也产生出设计美的作品的愿望．数学文化不但是直观的艺术形象，它还体现了数学的内在美．在学生印象中，现在学的知识都是很古老的，早就被人们所熟知，现在只是拿过来重新学习一遍而已．本节课中展现的任意五边形的例子给学生很大的触动，原来这些研究在世界最著名的大学中正在进行着．我们能发现学生激动的眼神，有的已经跃跃欲试，准备自己尝试找到第十七种方案．此时学生心里已经埋下了数学的种子，这颗种子在某一个时刻就会破土发芽，这是一种数学文化，是一种数学精神、科学的精神．

(4)充分展现学生的思维.学生的思维是数学课堂上最美的花朵，或者说，学生不完美的思维展示才是课堂教学的意义所在.教师若能让学生充分展示这种原生态的思维的过程，就能助推学生的真正发展．在本节课组合拼图的过程中，有的小组发挥了集体智慧，创作出意想不到的图案来.这样的“意外”在课堂上要多一点，让学生把知识灵活地应用到自己的设计方案中去．