“平方根”教学设计与反思*

叶新和 (江苏省泰州市高港区教师发展中心 225300)

1 基本情况

1.1 授课对象

使用苏科版数学教材的八年级学生，学生的数学基础比较好．

1.2 教材分析

1.3 教学目标

(1)了解算术平方根、平方根的概念，会用根号表示非负数的算术平方根和平方根;

(2)了解乘方和开方互为逆运算，会用平方运算求一些非负数的算术平方根和平方根;

(3)能用算术平方根解决一些简单的实际问题，形成问题意识，发展理性精神．

说明关于知识目标的确定，以《义务教育数学课程标准(2011版)》(以下简称《课程标准》)中相应要求为依据．能力目标方面，培养学生发现问题、提出问题的能力以及发展学生的理性精神应该是贯穿数学学习过程始终的，具体到每课时的学习则要把握好分寸．

教学重点 算术平方根的概念．

教学难点 算术平方根符号表示的必要．

1.4 教学策略

(1)调整教材中内容的呈现顺序，先学习算术平方根知识，再学习平方根知识;

(2)创设情境，让学生发现问题、提出问题;

(3)对于猜测的结论，能够说理时尽可能说理，不能说理时设法进行验证．

2 教学过程

(第1课时)

2.1 预备性活动

2.2 探索活动1

问题1有的计算器显示为“Error”．

“Error”表示什么意思？选择的数字具备什么共同点？你有何猜想？换几个数字试试，验证你的猜想．

问题2观察选择的数字以及显示的结果，你有何想法或者会提出什么问题？

想法较多时由简到繁适当梳理，再就结果为整数或者一位小数的情形进行观察、分析，并思考问题3．注意尽可能采用学生提出的问题展开后续教学．

为便于发现数量关系，可引导学生填写下表：

aa0=01=14 =425 =250.36 =0.36……

2.3 学习新知

·算术平方根概念与表示

·体会概念含义

问题4对于算术平方根及其符号表示，你能提出什么问题来考考同学吗？

如果没有能够提出一些问题，可以考虑选用下面的练习题：

第3题 对于上述问题，你有什么想法或者疑惑吗？

2.4 探索活动2

·感受符号表示的必要

说明该问题属于计算器显示结果位数比较多的情形，是问题3的继续．该问题也是学生最容易感到疑惑的．

·感受研究的必要

例1假设图1中小方格边长为1，试写出线段AB,A′B′的长．

图1

应用练习：

第4题 写出上图中线段CA′,CB′的长；

第5题 求下列各数的算术平方根：

·说理

问题6试解释负数为何不能求算术平方根．

2.5 巩固新知 (略)

(第2课时)

2.6 复习巩固

围绕简单实际应用以及学生学习中常见错误设计，练习略．

2.6 探索活动3

问题7还有具备上述特征的非负数a吗？

问题8任选一个正数，连续求算术平方根，你有何发现？

操作发现：在计算器上输入一个正数,如果这个数大于1，不断地求这个数的算术平方根，运算结果越来越小，越来越接近1，最后都等于1．在计算器上输入一个正数，如果这个数小于1，不断地求这个数的算术平方根，运算结果越来越大，越来越接近1，最后都等于1．

问题9满足上述特征的非负数是否只有0和1？能说明你的判断是正确的吗？

2.9 转化得平方根

问题11先借助计算器完成下列填空，然后思考：对于计算结果，有何猜测？

2.9 学习新知

例2下列各数有平方根吗？如果有，请写出来;如果没有，请说明理由．

(答案及规范解答略)

平方根性质：一个正数有______个平方根，它们互为______；0的平方根是______；负数______(填“有”或者“没有”)平方根．

2.10 巩固新知(略)

3 回顾与反思

3.1 根据学生已有经验因势利导

对教材内容顺序的调整某种程度上是被“逼”出来的(注：创造性使用教材是教师实践性智慧的重要表现，其前提是认真研究教材、准确理解编写意图、深刻把握教材精髓，对此应持审慎态度)．学生学习中的错误多次纠正后效果总不是很好，笔者感觉可能由于两个原因：一是对平方根内容的学习有困难．由于一个正数的平方根涉及到正负两个数，这两个数是方程x2=a的根，这与学生的经验相差太远，于是出现了学习“平方根”概念的困难[3].二是苏科版数学教材利用求网格中线段长作为情境引入平方根定义[1]，可能人为增加了学生学习难度．在学生经验中线段长只能是正数，结果只有一个，而正数的平方根有一正一负两个数，学生会心存疑虑．当学生调节已有认知结构，对平方根知识有所接受后，接着学习算术平方根，又回归到结果是一个的情况，需要再次调整认知结构．给人感觉两次在牵着学生鼻子走．如果此时再回头看情境，难免会认为“平方根”内容的学习是多此一举．

识转化为算术平方根来处理，因势利导以有效化解难点．

需要指出的是，计算器上没有平方根按键，只有算术平方根按键，这从另一个角度验证了将算术平方根作为重点并先学习的合理性与必要性．

3.2 努力培养学生的问题意识

《课程标准》在“总目标”中提出：“增强发现和提出问题的能力、分析问题和解决问题的能力.”[4]跟课标实验稿相比，“增强发现和提出问题的能力”是新增加的要求，对此教师理应给予足够重视.然而实践中发现，该要求对于教师的能力要求很高，素材不好找、培养方法不易总结，一直是教学的薄弱环节．笔者试图通过自己的探索与研究能够给人以启迪．

3.3 在计算器使用中“生长”数学

关于计算器的使用，《课程标准》在“使用现代信息技术与教学手段多样化的关系”中多处给出建议：有条件的地区，教学中要尽可能使用计算器；应当根据课程内容的要求，允许学生使用计算器，还应当鼓励学生用计算器进行探索规律等活动．[4]遗憾的是，有些地区中考不允许学生使用计算器，因此这些地区计算器使用的教学往往也是流于形式．本文课例在挖掘计算器在知识发现与结论验证的方面进行了一些尝试．

算术平方根有两个本质特征：正数的算术平方根是一个正数，正数算术平方根的平方等于它本身．[2]这两个本质特征都是学生在利用计算器进行操作中自行“生长”出来的，而不是提出概念后感受的．再有，在不断地对一个正数取算术平方根的操作中，学生不断感受其算术平方根逼近数值1的趋势，在这样充分的经历中，“算术平方根等于自身的正数只有1”差不多是脱口而出的事情．