数学实验：“具身学习”的课程载体

冯刚

摘  要：作为“具身学习”的课程载体，数学实验有利于学生从“被动”走向“主动”、从“结果”走向“过程”、从“看客”走向“创客”。在“具身学习”视域下进行数学实验，要警惕数学实验等同动手操作、寻求结果僭越实验过程、媒体观影替代实际操作等问题。构建数学实验“情境场”“探究场”及“延伸场”，能有效达成心智、身体与环境的互动，在思维、身体与环境的共同参与下进行“具身学习”。

关键词：数学实验;具身学习;课程载体

当下，部分教师过分追求“大容量”“快节奏”“高效率”的数学课堂，导致小学生的数学学习缺少思维、身体的主动参与，学习沦为离身的训练。具身认知理论反对以身心二元论为基础的离身学习观，强调学习是一种“嵌入”身体和环境的活动，应在身体与环境的互动中进行“具身学习”。数学实验是认知、思维、情感等作用于环境并进行交互作用的做思共生、手脑协同的认知活动，与具身认知理论倡导的具身学习观不谋而合。数学实验将成为开启“具身学习”的新动力引擎。

一、具身学习：诉求数学实验的“课程价值”

江苏省小学数学教研员郭庆松老师指出：“小学数学实验是在数学思想和数学教学理论的指导下，小学生借助实物和工具，通过对实验素材进行‘数学化的操作来验证数学结论、建构数学概念、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式。” 具身认知理论强调心智是身体的心智，认知是身体的认知，认知、思维、记忆、学习、情感和态度等是身体作用于环境的活动塑造出来的。在具身认知理论所倡导的“具身学习”视域下，对数学实验的内涵做出全新诠释：数学实验，是指学生基于具身问题情境，在数学思维的深度参与下对实验素材进行“具身操作”来学（理解）数学、用（解釋）数学、做（建构）数学的具身学习活动。简言之，数学实验就是“具身操作”“具身思维”与“具身环境”交互作用的“具身实验”，在“具身学习”过程中有独特的课程价值。

1. 从“被动”走向“主动”，助力知识建构

心理学研究表明，学习动机与学生的学习行为和学业成就呈正相关。数学实验遵循学生的认知规律和心理特点，引导学生在身体与环境的互动中产生实验需求，主动参与“具身学习”。变机械接受为主动探究，学生透过外在的“具身操作”直抵知识的深层内核，体悟知识的本质，自主建构认知，形成知识体系。

2. 从“结果”走向“过程”，积累活动经验

定理、公式等静态的数学知识仅是数学学习的浅层目的，学习过程中的活动经验才是深层目标。在数学实验过程中，学生以问题为出发点思考实验步骤、设计实验方案、实施实验过程、分析实验结果、总结实验结论，在数学知识的发生、发展和形成过程中积累数学活动经验，打造“具身学习”范式。

3. 从“看客”走向“创客”，培养创新思维

以教师演示为主的课堂教学，学生处于“离身学习”状态，扮演的更多的是“看客”的角色，缺少思维、操作与环境的互动。“具身实验”满足学生差异性的学习需求，可以让学生全身心、全过程、全领域地参与到具身学习活动中。学生在画图、测量、剪拼等具身操作活动中主动观察、思考、想象、推理，摆脱离身思维，形成一种具身认知。从问题的“看客”转变为探索的“创客”，实现创新思维着陆，并且向更深处漫溯。

二、具身学习：关照数学实验的“问题现象”

涉身性、体验性和嵌入性是“具身学习”的基本特征。在数学实验过程中，学生通过身体认识世界，在心智、身体与环境的互动中建立动态平衡，实现“具身学习”。然而，当我们运用“具身学习”理念关照当下数学实验时，却发现数学实验教学已陷入困境——数学实验与动手操作的等同、实验结果对实验过程的僭越、媒体观影对实际操作的替代等。

1. 数学实验等同动手操作，忽视“具身思想”

动手操作和数学实验是两种基本的数学活动形式。一般而言，动手操作的展开由外因驱动，而数学实验的推进由内因驱动。因此，数学实验并非机械的动手操作，而是融合内隐的数学思维、数学想象的一种高阶动手操作学习方式。如《间隔排列》一课，学生在观察情境图后，教师引导学生采用小棒、圆片等进行模仿操作，教师根据学生反馈的结果总结间隔排列的规律并进行题组练习。可见，上述所谓的数学实验忽视了学生的“具身思想”，学生沦为机械的操作工，并未感悟到对应思想，思维仍处于直观层面。

2. 寻求结果僭越实验过程，忽视“具身经验”

为了寻求顺畅的实验过程及正确的实验结果，很多教师会过度引导实验步骤。缺少自主参与实验设计的过程，学生的实验活动经验难以积累。如《圆锥的体积》一课，为帮助学生更好地理解圆锥体积与圆柱体积的关系，理应让学生思考如何更好地设计实验方案。然而在实际教学中，多数教师会直接告知学生采用灌水法，即用圆锥向圆柱灌水的方式。这样的实验过程仍以教为中心，作为学习主体的学生并未思考为何要选用等底等高的圆锥和圆柱这个核心问题，故而难以积累具身活动经验，缺失实验价值。

3. 媒体观影替代实际操作，忽视“具身操作”

由于数学实验需要准备大量实验工具且占用大量时间，多数教师会采用多媒体演示实验或讲解实验的方式进行教学，将生动的“做实验”缩减为说教式的“看实验”“说实验”。如《认识体积》一课，部分教师会采用多媒体演示在杯中放桃、放荔枝的过程，从而揭示体积的概念。所谓的数学实验一带而过、蜻蜓点水，实验过程中学生并未进行“具身操作”，缺少了动作和思维的参与，学生的思维不够严谨和细致，其探究能力和创新思维自然难以得到发展。

三、具身学习：探寻数学实验的“实践路径”

“具身学习”视域下的数学实验，通过具身实验活动帮助学生体悟学习过程，提升思维品质。数学实验过程中，要注重多感官的参与，引导学生在动脑思考、动手操作、动口表达中进入沉浸式学习。要达成如上目标，构建“具身实验”的“三场”——“情境场”“探究场”“延伸场”显得尤为重要。

（一）开发实验材料建立实验角，构建具身实验“情境场”

学习是“嵌入”身体和环境的活动，认知依赖于环境。《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“教师应开发教学资源，努力制作简便实用的教具和学具，有条件的学校可以建立‘数学实验室供学生使用，以拓宽他们的学习领域，培养他们的实践能力。”为此，教师应科学开发实验材料，建立数学实验角，为“离身学习”向“具身学习”的转变做好铺垫。

1. 以“易获得”“丰富性”为原则，开发实验材料

实验材料是“具身实验”得以开展的前提，是学生具身认知的重要载体。在开发实验材料时，首先要明确实验材料是易获得的。教师应选取学生生活中常见且便于制作的材料，如吸管代替小棒，纸盒代替立体图形等，密切联系数学与生活。其次是实验材料的丰富性，材料的单一性往往会带来明显的暗示，失去实验的价值。如“圆锥的体积”教学中，既要提供等底等高的圆柱和圆锥，也要提供与圆锥等高不等底、等底不等高、既不等底也不等高的圆柱。丰富的材料给予学生更多的比较、观察、推理的机会，充分彰显实验的价值。

2. 以空间的合理利用为原则，建立实验角

数学实验室对空间及资金的依赖度较高，可以就简为数学实验角。为合理利用学校空间，可分别设置班级实验角和校园实验角。首先，教师可以在班级的角落开辟区域，设置成班级的数学实验角。师生共同设计学具，装备班级实验角，丰富实验素材，便于学生随时取用。在实验角定期公布与学习进度相关的数学实验，引导学生选取实验素材进行自主研究。其次，教师可以充分利用校园的墙面、过道等资源建立校园实验角。教师可以择优挑选班级学生数学实验的过程及结果资料展示在校园实验角中，亦可展示從古至今数学家数学实验的故事，营造数学实验学习的氛围。此外，教师可以在过道地面从0开始标注长度，创造长度单位“米”的体验素材，为长度及面积相关的数学实验创造条件。

（二）基于教学目标优化实践模式，构建具身实验“探究场”

数学实验是以探究数学知识、检验数学理论、解决数学问题为目标的具身学习方式，教师应基于既定的教学目标，在学生内在需求激发的关键点创造性地实施数学实验，真正做到“做学玩一体”“学思创共生”，在“具身实验”认知过程中实现素养的提升。

1. 基于概念掌握实施理解性实验

理解性实验是采用操作、画图等多元表征方式来理解、掌握数学概念本质的数学实验模式。数学概念是抽象的，在学生概念理解出现困难时，及时提供数学实验这一“脚手架”，此时操作与思维并存，理解与创造共生，真正实现了满足学生内在需求的“具身实验”要求。如《面积单位》一课，平方厘米、平方分米及平方米这些面积单位量感的建立是教学难点。为此，依托数学实验，提出问题：“如果要表示橡皮、数学书及桌面的面积，该用哪个面积单位呢？请你先估一估，再用不同面积的正方形量一量，将数据填入实验单，并写出你的发现。”学生先估一估，再通过具体的测量进行验证，得出结论并总结出自己的发现：表示很小的物体的面积，一般用平方厘米作为单位;表示中等大小的物体的面积，一般用平方分米作为单位;表示非常大的物体的面积，一般用平方米作为单位。这样的具身学习方式实现了外在动手操作和内在数学思考的有机融合，学生在亲历知识的运用中对概念进行空间想象，实现概念的理解与“意义”的建构。

2. 基于事实验证实施检验性实验

检验性实验是对学生已知或有所了解的结论、定理、规律正确与否进行辨别或“再发现”“再创造”的数学实验模式。如《三角形的内角和》一课，学生已经了解“三角形的内角和是180°”这一结论，如何通过检验性实验来验证结论的正确性显得尤为重要。首先可以从常见的三角尺出发，在得出三角尺的内角和是180°的基础上引导学生猜想：“是不是所有三角形的内角和都是180°呢？”进而启发学生以小组合作的方式对三种类型的三角形展开研究，采用量、撕、拼、折等方法进行验证并及时在表格中记录数据，分析数据并最终验证结论。“具身操作”与“特殊到一般”思想相结合，学生在实验中不断积累数学活动经验。

3. 基于问题解决实施探究性实验

顾名思义，探究性实验即着眼于问题解决，探索未知方案、结论或对已有方案、猜想进行验证的数学实验模式。根据教学目标的定位及教学内容的特点，一般可分为开放性探究实验和引导性探究实验。

开放性探究实验一般先由教师或学生提出问题，再由学生分组设计实验程序，完成实验操作，最后收集、整理和分析实验数据，得出实验结论。如《三角形的三边关系》一课，教师提出问题：“3根小棒一定能围成三角形吗？请你选取实验材料，并将数据记录在实验单上。”接着前后四人小组交流讨论，思考如何设计实验方案，怎样才能更合理地验证猜想。明确实验步骤后，学生自主操作、记录数据、总结结论。最后学生展示小组实验过程、实验数据及实验结果，并由教师及其他学生进行提问及质疑。经历这样开放式的探究实验，学生分析问题的能力及推理能力都得到有效提升，逐渐形成“具身实验”意向图式。

引导性探究实验一般先由学生根据问题提出猜想，接着由教师引导学生按照预设的流程提出实验程序，预测可能的结果，然后进行实验并获得实验数据，最后分析解释实验数据并得出结论。如《钉子板上的多边形》一课，首先引导学生提出猜想：钉子板上多边形的面积与多边形内部的钉子数量有关、与多边形各边的钉子数量有关等。接着，由教师引导学生制定实验方案，按照由简单到复杂的规则，从内部只有一枚钉子开始，依次研究两枚、三枚钉子的情况;从边上只有三枚钉子开始，依次研究四枚、五枚钉子的情况等，并提供数学实验研究单。学生统计数据并填入表格，再分析数据，得出结论。最后教师引导学生回顾解决问题的过程：今天的实验有几个步骤？以前做过这样的实验吗？解决问题的过程不仅提高了学生分析问题和解决问题的能力，而且“活化”了实验经验，帮助学生形成结构化理解，把握“具身实验”的基本范式。

（三）指向素养提升实施“小实验”，构建具身实验“延伸场”

数学实验不应仅仅局限于课堂实验，还应向课外延伸，开发具身“小实验”。具身“小实验”不具体承载某个知识点，而是意在在具身活动中激发学习兴趣、感悟数学思想、积累活动经验、培养创新意识和实践能力。具身“小实验”可以是以思维拓展为旨归的课堂延伸“小实验”，亦可是以素养提升为旨归的生活情境“小实验”，还可以是以全面发展为旨归的学科融合“小实验”。

1. 以思维拓展为旨归的课堂延伸“小实验”

课堂时间是短暂的，很多时候学生是吃不饱的。在学生意犹未尽时，设计课堂延伸的“小实验”，不仅巩固了基础知识，更拓展了学生的认知，实现了思维的发展。教学时，《对折剪绳》这样的题型学生在理解时总是有所偏差，为此，教师可以引导学生在课后进行《剪绳的秘密》数学小实验。可以提出这样的问题：“怎样快速地给全班同学分一段绳子编手链？”在这种现实问题情境中，学生便会思考实验方案，确定实验步骤。学生分别将绳子对折一次、两次、三次、四次、五次后从中间剪断，得到实验数据后进行分析归纳并总结出规律，进而得出实验结论。通过“小实验”，学生不仅巩固了已有知识，而且归纳推理能力也得到了充分的发展。

2. 以素养提升为旨归的生活情境“小实验”

数学源于生活，用于生活，只要善于思考与发现，生活中处处存在着数学问题。引导学生用数学的眼光观察生活現象，用数学的思维思考生活现象，用数学实验的方式解释生活现象，学生的数学素养才能真正得以提升。开展《自动人行道的数学奥秘》数学“小实验”，从“为什么自动人行道上走动的人比静止的人能更快到达终点”这个问题出发，选取卷尺、计时器及记录表等实验材料，在自动人行道上进行数学实验，得出结论后将其延伸至高年级的“顺水、逆水航行”问题，学生的思维能力定能得到大大的发展。开展《奇妙的红绿灯》数学“小实验”，从“红绿灯的变化有什么规律”这一问题出发，提出“红绿灯的变化是有规律的，可以根据规律预测后续红绿灯的颜色”这个猜想，选取路口的红绿灯进行数学实验，得出结论后探索出计算后续红绿灯颜色的简便方法，为周期问题的学习打好基础。

3. 以全面发展为旨归的学科融合“小实验”

随着高中课程标准的颁布，“核心素养”的培养成了教育界的热议话题。实施融合不同学科知识的具身“小实验”，可以有效促进人的全面发展，实现“核心素养”的最终目的。开展《神奇的纸片》数学“小实验”，从“为什么大桥能承载那么多重量”这一问题出发，提出“大桥承重可能与桥面形状、桥面厚度、桥面材料及桥墩距离有关”这四个猜想，并采用数学实验的方式对四个猜想进行一一探索与验证，最终成功验证猜想并得出实验结论。学生收获的不仅仅是简单的结论，更重要的是在数学、物理等不同学科的融合中培养的综合分析与运用能力，促进了学生的全面发展。

数学实验是作用于身体和环境的“具身实验”，是实现“具身学习”的有效课程载体。在心智、身体和环境交互作用的数学实验中，最大限度地利用内部心理资源和外部环境条件，达到心智、身体和环境的动态平衡，实现身心一体、心智统一，最终促成“离身学习”向“具身学习”的转变。