一类非线性分数阶微分方程耦合系统正解的存在性

薛益民， 彭钟琪

(徐州工程学院数学与物理科学学院， 徐州 221018)

随着非线性问题研究的深入，学者们建立了比整数阶微分方程模型更为精细的分数阶微分方程模型，以更好地解决复杂的实际问题，而其中的很多问题可以化为非线性分数阶微分方程边值问题. 关于非线性分数阶微分方程边值问题正解的研究也已有许多重要成果[1-10].

BAI和LU[10]利用锥上的不动点定理，得到了非线性分数阶边值问题

受文献[10]的启发，本文利用Guo-Krasnoselskii不动点定理、Schauder不动点定理和格林函数的性质，得到如下的非线性Riemann-Liouville型分数阶微分方程耦合系统边值问题

(1)

正解的存在性的充分条件，其中，2<α,β≤3,1<γ≤2,1<δ≤2,1+γ≤α,1+δ≤β,f,gC([0,1]×[0,∞),[0,∞)),D表示阶Riemann-Liouville分数阶导数，{α,β,γ,δ}，并举例说明了定理的有效性.

1 预备知识

定义1[11]函数f:+→的α>0阶Riemann-Liouville积分为

定义2[11]函数f:+→的α>0阶Riemann-Liouville导数为

其中，n=[α]+1,[α]表示实数α的整数部分，等式右边在+上逐点定义.

引理1[11]若α,β>0,f(x)L(0,1),则：

(i)DβIαf(t)=Iα-βf(t)(α>β)；

(ii)DαIαf(t)=f(t)；

下面给出本文定理证明时所需要的引理.

引理2[12](Guo-Krasnoselskii不动点定理)假设P在Banach空间E中是一个锥,Ω1和Ω2是E的有界开子集，且0Ω1,1⊂Ω2. 如果A:P∩(2Ω1)→P是一个全连续算子，且下列条件之一成立:

(i)‖Ax‖≤‖x‖(xP∩∂Ω1)且‖Ax‖≥‖x‖(xP∩∂Ω2)；

(ii)‖Ax‖≥‖x‖(xP∩∂Ω1)且‖Ax‖≤‖x‖(xP∩∂Ω2),

引理3[13](Schauder不动点定理)假设U是Banach空间X的非空有界闭凸子集，T是U到其自身的全连续映射，则至少存在一个xU，使得Tx=x.

引理4[14]∀y(t)C[0,1],2<α≤3,1<γ≤2,1+γ≤α，分数阶微分方程边值问题

类似可得

引理5[15]假设G(t,s)=(Gα(t,s),Gβ(t,s))，则G(t,s)满足：

(i)∀t,s[0,1]，有G(t,s)C([0,1]×[0,1])；

(ii)∀t,s[0,1]，有G(t,s)≥0，且∀t,s(0,1)，有G(t,s)>0；

(iii)∀s[0,1]，有

(iv)∀s[0,1]，有

其中μ=min{μα=(1/2)α-1,μβ=(1/2)β-1}.

2 主要结论

令X={u(t)|u(t)C([0,1],[0,))}. ∀uX，定义范数则(X,‖·‖)是Banach空间. 令Y={v(t)|v(t)C([0,1],[0,))}. ∀vY，定义范数X×Y，定义范数‖(u,v)‖=‖u‖+‖v‖，则(X×Y,‖(u,v)‖)也是Banach空间. 定义锥U⊂X×Y为

U={(u(t),v(t))X×Y:u(t)≥0,v(t)≥0,t[0,1]}.

∀(u,v)X×Y，定义算子T:X×Y→X×Y为

T(u,v)(t)=(Tαv(t),Tβu(t))=

(2)

由引理4知T的不动点即为耦合系统(1)的解.

引理6[14]假设f,gC([0,1]×[0,),[0,))，则算子T:U→U为全连续的.

为叙述简洁，记

其中，μα和μβ由引理5的(iv)给出.

定理1假设f,gC([0,1]×[0,),[0,))，若存在常数Ri>ri>0(i=1,2)，使得下列不等式成立：

(H1)f(t,v)≤M1R1((t,v)[0,1]×[0,R1])；

(H2)f(t,v)≥N1r1((t,v)[0,1]×[0,r1])；

(H3)g(t,u)≤M2R2((t,u)[0,1]×[0,R2])；

(H4)g(t,u)≥N2r2((t,u)[0,1]×[0,r2])；

(H5)0

则耦合系统(1)至少有一个正解.

证明由引理6可知算子T:U→U是全连续的. 令

‖(u(t),v(t))‖

∀(u,v)U∩∂ΩR，有‖(u,v)‖=R. ∀t[0,1]，由(H1)、(H5)和引理5的(ii)、(iii)，有

即

‖Tαv(t)‖≤R1.

(3)

由(H3)、(H5)和引理5的(ii)、(iii)，有

即

‖Tβu(t)‖≤R2.

(4)

由式(3)、(4)，可得

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≤R1+R2=R=‖(u,v)‖,

即

‖T(u,v)‖≤‖(u,v)‖ ((u,v)U∩∂ΩR).

令Ωr={(u(t),v(t))|(u(t),v(t))X×Y,‖(u(t),v(t))‖

即

‖Tαv(t)‖≥r1.

(5)

由(H4)、(H5)和引理5的(ii)、(iv)，有

即

‖Tβu(t)‖≥r2.

(6)

由式(5)、(6)，可得

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≥r1+r2=r=‖(u,v)‖，

即

‖T(u,v)‖≥‖(u,v)‖ ((u,v)U∩∂Ωr*).

由引理2，算子T至少有一个不动点(u,v)U∩(RΩr)，即耦合系统(1)至少有一个正解. 证毕.

定理2假设f,gC([0,1]×[0,),[0,))，若存在常数ai,bi>0(i=1,2)，使得下列不等式成立：

(I1)f(t,v)≤a1+b1vρ1,∀(t,v)[0,1]×[0,),ρ1(0,1)；

(I2)g(t,u)≤a2+b2uρ2,∀(t,u)[0,1]×[0,),ρ2(0,1)，

则耦合系统(1)至少有一个正解.

证明取定常数r*，使得

(7)

Ωr*={(u,v)(t)|(u,v)(t)X×Y,‖(u,v)(t)‖≤r*,

t[0,1]},

(8)

则Ωr*是Banach空间X×Y的非空有界闭凸子集，下面证明T:Ωr*→Ωr*. ∀(u,v)Ωr*，由式(2)、(7)、(8)和(I1)，有

r*/4+r*/4=r*/2,

即

‖Tαv(t)‖≤r*/2.

(9)

由式(2)、(7)、(8)和(I2)，有

r*/4+r*/4=r*/2,

即

‖Tβu(t)‖≤r*/2.

(10)

由式(9)、(10)，可得

‖T(u,v)‖=‖Tαv(t)‖+‖Tβu(t)‖≤r*

(∀(u,v)Ωr*),

即T：Ωr*→Ωr*.

由引理6，知算子T：Ωr*→Ωr*是全连续的. 由引理3，耦合系统(1)至少有一个正解. 证毕.

3 应用举例

本节给出2个例子以验证定理的有效性.

例1考虑如下耦合系统边值问题

(11)

其中，2<α=5/2,β=7/3≤3,1<γ=3/2,δ=5/4≤2，满足1+γ≤α,1+δ≤β，而且

易知f,gC([0,1]×[0,),[0,)). 经计算，可得

因此

由于

因此

选取R1=4,r1=1/12，R2=3,r2=1/9，则有

((t,v)[0,1]×[0,R1])，

((t,v)[0,1]×[0,r1])，

((t,u)[0,1]×[0,R2])，

((t,u)[0,1]×[0,r2])，

且满足0

例2考虑如下耦合系统边值问题

(12)

其中，0

易知f,gC([0,1]×[0,),[0,))，且

|f(t,v)|≤0.683 940v3/7+0.857 143,

|g(t,u)|≤21.085 537u2/3+1.571 429.

定理2的条件均被满足，故耦合系统(12)在[0,1]上至少有1个正解.