向量范数与矩阵范数的相容性研究

田东霞

（吕梁学院汾阳师范分校，山西汾阳032200）

近年来，在数学的许多分支和实际工程中，特别是涉及多元分析时，常会用到矩阵的分析运算。范数理论在研究算法的收敛性、稳定性以及误差分析中都是一个不可或缺的工具[1]。本文通过向量范数引出矩阵范数，进一步讨论二者的相容性，并给出了求与向量范数相容的矩阵范数的方法[2]。通过引入算子范数的概念，证明算子范数即为与向量范数相容的矩阵范数。

1 矩阵范数

当把范数的概念推广到矩阵空间上时，矩阵空间Cm×n是一个mn维线性空间，一个m×n矩阵可以看作一个mn维向量，因此可以按向量范数的方法来定义矩阵范数[3]。然而，矩阵有其独特的乘法运算，因此在定义矩阵范数时，必须多一条反映矩阵乘法的公理[4]。

定义1[5]任给矩阵A∈Cn×n,定义矩阵A的一个实函数，记作‖A‖，若此函数满足

（1）正定性：‖A‖≥0，等号当且仅当A=0时成立；

（2）齐次性：任给k∈C,A∈Cn×n，都有

（3）三角不等式：任给矩阵A、B∈Cn×n,都有

（4）任给矩阵A、B∈Cn×n,都有

则称‖A‖是矩阵A范数。

类似于向量范数，关于矩阵范数，也有以下结论。

定理1[6]设 ‖·‖m是Cn×n上的矩阵范数 ，A=（aij)n×n∈Cn×n，则

（1）‖A‖是aij的连续函数，i,j=1,2,…,n;

（2）Cn×n上任意两个矩阵范数等价。

定理2[7]设A=（aij)∈Cn×n，定义

2 向量范数与矩阵范数的相容性

由于矩阵与向量在实际运算中常会同时出现，因此矩阵范数与向量范数也会同时出现，因而需要建立矩阵范数与向量范数的联系。由此引入如下定义。

因此，矩阵m∞-范数与Cn上向量的∞-范数相容。

类似地，还可以证明，Cn×n上的矩阵m∞-范数与Cn上向量的1-范数、2范数均相容。由此可得下面的推论。

3 算子范数

推论1说明对于任一相容矩阵范数，必存在与之相容的向量范数。反之，对给定的向量范数，下面的定理表明了也可以得到与之相容的矩阵范数。

而当x=0时，式（1）也成立。由此便证明了式（1）定义的‖A‖是与‖x‖v相容的矩阵范数。

式（1）所定义的矩阵范数称为算子范数，或称之为由向量范数‖·‖v导出的矩阵范数，也称为导出范数或从属范数。从而表明了算子范数即为与向量范数相容的矩阵范数，同时式（1）也给出了求与向量范数相容的矩阵范数的方法。