基于现象教学的“问题意识”培养<br/>——以“圆的标准方程”教学设计为例

基于现象教学的“问题意识”培养
——以“圆的标准方程”教学设计为例

2020-04-16许佳龙江苏省苏州市盛泽第二中学215228

中学数学月刊 2020年1期

许佳龙 (江苏省苏州市盛泽第二中学 215228)

问题意识是指问题成为感知和思维的对象，从而在心里造成一种悬而未解决但又必须解决的一种心理状态.本文的“问题意识”是指学生用数学的眼光，从所给现象中发现数学结构、进行描述以及用数学方法解决和评价的心理趋向.也就是说，这里的“问题意识”并不是为了解决这个问题，而更趋向于如何从数学现象中发现并提出问题的意识.基于对“圆的标准方程”这节课的教学设计的理解，笔者认为现象教学中的培养学生的“问题意识”，可以从以下几个方面考虑.

1 前期教学分析

1.1 教材地位

解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想. 圆是解析几何中一类重要的曲线，圆的标准方程的学习安排在直线与方程的基础知识之后.此时，学生已经知道在直角坐标系中通过建立方程可以达到研究图形性质的目的.圆的标准方程正是这一知识运用的延续，学生在学习中进一步体会数形结合的思想，形成用代数方法解决几何问题的能力.本部分知识的学习，对于进一步学习圆锥曲线具有承前启后的重要意义.

1.2 学情分析

圆是学生熟悉的图形，初中平面几何对圆的基本性质作了比较系统的研究，本节之前又学习了建立直角坐标系求直线方程的方法，这些都为本节课的学习奠定了必要的基础.再者，经过必修一、必修四的学习，高一学生对高中数学学习的基本方法也有了一定的体验和了解，具备了初步的观察、类比、归纳、概括、表达能力.通过五种直线方程的学习，对坐标系下建立方程进行了反复训练，这些都为本节课的学习做了能力和方法上的准备.

当然，由于学生对建系求方程的方法以及圆的标准方程认识还不深刻，在探究知识的形成与方程的运用时可能会遇到一些困难，在教学中应及时关注学生反馈的信息，循序渐进地开展教学.

1.3 教学目标及重难点

(1)会推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程；

(2)能根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程；

(3)加深对数形结合思想的理解，提升用解析法研究几何问题的能力.

教学重点圆的标准方程及求解方法.

教学难点圆的标准方程的生成及认识过程.

1.4 设计思路

新课程背景下的教学，追求知识流畅的生成过程.本节课采用现象教学法开展教学，一开始直观感知生活中的圆形(几何语言)并联系到圆的定义(文字语言)，自然想到从代数的角度用方程形式(符号语言)进行研究，推导出圆的标准方程，并以此为新的数学现象，并进行观察和思考，思考的结论又可以作为新的现象从而进一步研究例题.而例题的过程和结果又可以作为新的现象继续新的探究，使学生在对多种形式的现象进行观察、感知、分析、理解和表达的过程中，层层展开、步步深入，力求体现以教师为主导，以学生为主体的指导思想，并坚持立德树人的教育根本，为培养和落实核心素养奠定基础.

2 教学片段设计过程

(一稿：不是太顺畅)

·以数学课本上的一段话作为数学现象

师：课本第80页上在介绍直线方程时说到：“在平面直角坐标系中，直线可以看作是满足某种条件的点的集合，直线的位置可由两点确定，也可由一点和一个方向来确定.”对此大家如何看？

生：已知一个点和倾斜程度，就可以写出直线的方程.

师：是的，这里的倾斜程度可以是斜率或是倾斜角.

生：已知两个点，也可以写出直线的方程.

师：没错，只要符合条件的点在直线上，就可以写出这些点所满足的方程.

生：其他的平面图形有抛物线、圆、椭圆、双曲线等，是否也可以写出对应方程？

师：这个问题提得好！那么今天我们先来探究圆的方程.该如何进行？

设计意图学生通过观察直线的描述进行思考和分析，并提出“其他平面图形是否也有这样的描述”问题时，打开学生的思路，对圆的描述和定义进行研究，并且在基本活动经验上有一定的基础，为圆方程的推导提供保障.

(二稿：稍微好一点)

·以数学课本上一道题的过程作为数学现象

师：课本第80页上在推导直线的点斜式方程时，写到“如果直线l经过点A(-1,3)，斜率为 -2，点P在直线l上运动，那么点P的坐标(x,y)满足什么条件？”

生：根据斜率公式，可以得到x,y之间的关系式，化简即得直线方程2x+y-1=0.

生：(补充)点在直线上，坐标就满足方程，反之，以方程的解为坐标的点一定在直线上.

师：没错，在平面直角坐标系中，直线可以看作是满足某种条件的点的集合，点的坐标满足的条件(等式)形成了直线的方程.

生：其他的平面图形有抛物线、圆、椭圆、双曲线等，是否也可以写出对应方程？

师：这个问题提得好！那么今天我们先来探究圆的方程.该如何进行？

设计意图相对于一稿，给出研究直线方程时的具体过程，更为直观，有了如此详细的过程，学生也自然能提出同样的问题后对圆方程进行研究，依葫芦画瓢，圆方程的推导和得出也不是问题.

(三稿：实践效果较好)

·以生活中的圆形作为数学现象

师：(给出几张图片)请同学们观察一下生活中的圆.

生：这是圆.

师：用数学语言形容——

生：(齐声)到一个定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合.

师：是否可以从代数的角度去形容？

生：利用两点之间的距离公式构建等式.

师：好的，那首先需要——

生：建立平面直角坐标系.

师：在坐标系中取一个定点(a,b)，定长为r，构建一个圆.

生：圆上的点的坐标(x,y)满足条件(x-a)2+(y-b)2=r2.

设计意图相对于一稿和二稿，直接给出圆的图形语言和文字语言，显得更为直观，学生也能自然想到是否能用符号语言来描述圆，借助于研究直线的活动经验顺利推导圆方程.

(定稿：经大家讨论，感觉效果可以达到预期)

·以自己动手画的圆作为数学现象

师：请同学们画一个圆.

生：(在空中比划、在纸上直接徒手画、拿圆规画)

师：你画的一定是一个标准的圆吗？(或者请同桌互相验证一下，你们画的圆是否标准？)

生：要标准，只要满足圆的定义即可.

师：那圆的定义是——

生：(齐声)到一个定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合.

师：说得很好，那从数学符号的角度来表示呢？

生：{P|PC=r}，其中C是定点，r是定长，P是动点.

师：更具体一点呢？这个动点P可以用——

生：坐标形式(x,y)来表示.

生：需要建立平面直角坐标系.

师：请大家在草稿纸上根据刚才画出的圆建立适合的坐标系，进行研究.

(绝大多数学生以原点为圆心建系)

师：我们一起看看同学A的研究过程(利用投影展示).

生A：我是以原点为圆心建系，根据平面上两点间距离公式，圆上的点P(x,y)到原点的距离等于半径r，化简后满足x2+y2=r2.

师：对！x2+y2=r2这个方程代表了圆上的所有点都满足这个条件，就是一个圆的方程.即点在圆上，点的坐标一定满足方程；反之，点的坐标满足上述方程，说明点一定在圆上.

生：(举手)有些圆的圆心不一定正好在原点，那这个方程是不是会变化？

师：假如圆心在C(a,b)，半径是r，那么圆方程是——

生：(x-a)2+(y-b)2=r2.(我相信可以秒答)

设计意图相对于前面三稿，更注重知识的自然生成.首先学生能最大限度地参与活动，能第一时间感知现象，进行充分思考，根据圆的定义，以两点间距离公式为工具对圆上的点进行研究，从而推导出圆心在原点处的方程，同时也培养了学生发现问题和提出问题的能力.“圆心不在原点？”不仅仅是一个问题，更是学生对圆的基本要素的理解，从而流畅并自主完成对圆方程的推导.

3 教学片段反思

3.1 进一步提高学生的主动参与度

现象教学中，学生的“问题意识”来自于对呈现出来的现象的感知和思考，所以，突出学生的主体地位，提升学生的主观能动性，让学生能够主动参与到活动和相应的思考中，对于发现问题有着至关重要的影响.

例如，学生在主动参与的过程中，发现了很难保证自己徒手画出来的图形是一个标准的圆，就会思考原因并尝试画得更圆；而有一部分学生用的是圆规作图，基本上看上去很圆了，这又是为什么呢？显然圆规的作用就是保证圆心固定和半径固定；但是也有学生用圆规画也会画得不圆，那又引起了进一步的思考——是不是我在画的过程中手抖了呢？而更进一步地思考，那就是一个圆和圆心、半径有关，可以说圆心和半径是圆的两个重要元素，圆心决定了圆的位置，半径决定了圆的大小.

这些思考和问题都是在主动参与的过程中自然而然地生成，如果是被动的，或者说是教师讲一步、学生做一步，那么学生就只是完成了教师已经预设好的问题或者说是布置的任务，并没有充分参与到活动与思考中.

那么，如何进一步提高学生的主动参与度呢？

首先，应该对现象进行适当的选取.在呈现本节课所需要的现象时，应考虑到适合学生、适合教师、适合课堂需要，或者说是适合观察、分析并能表达的现象，在学生的最近发展区寻找现象，营造让让学生跳一跳可以够到的感觉，有效激发学生的学习兴趣，让学生愿意并主动参与到课堂活动中.

其次，可以对学生的思维过程进行多角度呈现和展示.例如，可以让学生在观察现象后开始交流讨论并代表小组进行发言，也可以把学生在草稿纸上完成的思维和计算过程投影在屏幕上，让他自己进行讲解说明，当然也可以让学生直接到黑板上进行板演，完成练习.同时教师也应该多表扬、多肯定、多鼓励，营造良好的师生和谐关系，让学生更加主动地参与到各种环节中，并能勇敢地提出问题.

另外，需要精心设置学生学习的目标和任务.让学生有针对性、有目的性地去学习，因为学习任务导向目标越具体，可实施性就越强，学生的主动参与度就越高.并且，落实了任务导向目标后，自然能有更大的信心去完成下一个目标，学生将会在落实一个个目标中奋力前行，更有效地参与到活动中去，并能最大效度地提升问题意识.

3.2 进一步丰富学生的基本活动经验

现象教学中，学生的“问题意识”很大程度上取决于学生或小组的基本活动经验，有一句古话叫做“权，然后知轻重；度，然后知长短.”笔者认为在教学中亦是如此，学生学习新的内容，肯定要借助于已有的基本知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法，而在“四基”中个人觉得基本活动经验是非常有代表性的，包括人类很多新的认识和发现就是基于以前的活动经验，从而通过猜想、类比、联想、论证，一步一步走向科学和成功.

例如，学生画圆，要想画出标准的圆肯定不能徒手画，根据经验，需要借助圆规等工具.这就是活动经验，可能这个活动经验是从生活中获得，也可能在以前的数学课上获得.那学生对圆方程的理解肯定要基于对直线方程的理解和联系上，研究直线乃至整个解析几何系统的一般原则就是从代数的角度去刻画几何图形，根据数形结合的基本思想进行研究.这里面既有类比、也有对比，包括满足一定条件的点构成的集合组成了直线，那什么样的点集组成了圆呢？研究直线方程时可以设直线上任意一点(x,y)，那研究圆方程时是设圆上任意一点吗？直线方程是关于x,y的二元方程，那圆方程是否也是关于x,y的二元方程呢？

基本活动经验包括在分析问题时所借助的经验，也包括在解决问题时所借助的经验，但是最重要的是对现象的观察和认识时所借助的经验，假如没有对现象的观察和认识，就没有问题的发现和提出，何谈分析和解决问题呢？

那么，如何进一步丰富学生的基本活动经验呢？

首先，应让学生充分参与到活动中.不仅仅是课堂上的活动要积极主动参与，课后也应该参与一些探究活动、小组讨论等，其实从广义上来讲，笔者认为多看书、多做题、多查阅资料也是积累和丰富基本活动经验的重要方式.

其次，需要大力提倡小组合作学习.教育教学过程应是“人际合作关系”.学生在共同完成某个学习任务或解决某个实际问题的过程中，发挥各自的优势，相互争论、相互帮助、相互提示或是进行分工合作，即在师生、生生之间建立一种和谐有序的交流，从而有效解决个人基本经验不足的缺陷，在潜移默化中锤炼学生的技能、塑造学生求实进取的个性品质，在合作交流学习中有效并大幅提升基本活动经验.

最后，需要学生不时对活动进行经验总结.反思可以让学生发现自身不足，促使自己不断改进，同时也能发现在活动过程中的闪光点，并能在后续的活动中能更快地熟悉和发现问题.总之，活动后的反思可以让自己从操作经验上升到理论高度，汲取优秀经验，扬长避短.所以，总结和反思是非常有必要的，或许也可以看成是进一步丰富和提升学生基本活动经验的一种方式.

3.3 进一步强化学生的数学思维品质

现象教学中，学生的“问题意识”也与学生的数学思维品质相辅相成，数学的思维品质包括批判性、独创性、合理性、论证性、开阔性、记忆的条理性、语言文字的简明性等.数学活动的过程与结果与思维的品质有着直接的关系.从“问题意识”角度来看，问题促进数学思维品质的进一步生成，同时优良的数学思维品质能让学生在数学活动中更快更准地发现和提出问题.

苏联教育学家巴班斯基通过实验研究，证实了中学生学习是否顺利，与他们的思维是否具备上述思维品质密切相关，这些思维品质彼此之间是息息相关的，同时会组成一定的相互关联的综合体，在学生学习活动中，它们会以另外一些独特的思维品质的形式表现出来.因此,培养学生的良好的数学思维品质，不仅有助于数学教学的顺利进行，而且是数学教育的目标之一.

那么，如何进一步强化学生的数学思维品质呢？

首先，应该培养学生质疑的勇气和精神.现实世界的呈现，需要用辩证的眼光去看待，如果一味地接受，那只是一个将现象记忆在脑中的过程，失去了思考和质疑，那么这样的学习效率是低下的.有了质疑的勇气并能坚持，就会积极产生思考，提出问题，进一步提升问题意识.

其次，强化学生的逻辑论证和求真意识.问题的发现和提出也会伴随着猜想，而且问题应该是有明确的指向性和前瞻性，并等待着论证，而且每得到一个结论，都要有一种“算两次”的想法，最终让学生能够善于探究证明现象的真实性，辨别所用材料的真伪，并理解材料的重要意义.在新课程改革背景下，加强求真意识的培养对问题意识的培养起着重要的推动作用.

第三，学生的创新意识和能力的培养.知识与技能需要传承，同时也需要创新.一方面学生看待问题或现象时要敢于提出不一样的看法，另一方面在解决一个问题时，要试着思考能不能变换其中的一些条件进行变式处理，提出一些新的问题.有了创新的氛围，问题意识才能得到加强.