高中数学课时目标的定位与分析——以“任意角、弧度”为例

(江苏省张家港市外国语学校 215600)

文[1]认为数学教学目标可分为课程目标、单元目标和课时目标三个不同层次(其中课程目标是宏观的，单元目标是具体的，课时目标是微观的)，并指出课时目标存在缺乏个人思考、描述模糊笼统、行为主体错位等不良现象，应该予以纠正．文[2]认为数学教学目标应该可控、可测、可操作，而不应该是模糊、笼统、不易操作的．文[3]认为高中代数的主线就是函数:指数函数与对数函数是单调性的典型代表，幂函数是奇偶性的典型代表，而三角函数是周期性的典型代表；各类函数的学习侧重点不一样，课时目标的制定要将其侧重点凸现出来．文[4]认为“弧度制”教学应该注重概念生成，凸显概念本质．本文拟以苏教版必修4“任意角、弧度”为例，分析高中数学课时目标的定位、测控与操作，以提高课堂教学的针对性和有效性．不当之处，敬请各位同行指正．

1 课时教学目标的含义及制约因素

课时教学目标,是指通过该课课堂教学活动要求学生达成的学习结果．它的显著特征是微小，是对课程目标的细化、对单元目标的分解．它是课堂教学的第一要素，统领整节课的全局，具有可控制性、可操作性和可预见性的特点．它是教学设计的起点和归宿，对教学活动起着引领和约束作用．合理的课时教学目标是有效教学顺利展开的保障．

课时教学目标的制约因素有：课标，教材和学情．首先，课程标准明确了学科性质、知识架构、课程目标、能力目标、情意目标，是教师实施教学的纲领性文件，也是课时教学目标的方向标．教师教什么、怎么教，学生通过学习应该达到怎样的标准，都有明确的规定．因此，以课标为依据，保证了课时目标设计的准确性．

其次，在制定课时目标前先要精心研读教材，要一字一句地读，准确理解教材编写者的意图、遣词造句的用意，关注文本特点，明确本节课所要学习的知识内容、达成的能力目标和情意目标，明确本节课在本单元甚至是整个知识体系中的位置，厘清它与前面知识的相互关系以及它对后续知识所起的作用．这样，才能明确课堂教学结构，明确课堂教学流程，做到突出重点、分散难点、合理布局、掌控讲与练的时机．因此，以教材为依据，保证了课时目标设计的兼顾性．

最后，在制定课时目标前必须要对学情有明确的认识，对学生已有的知识结构、生活经验、学习能力、思维特点、兴趣爱好等特质要了然于胸．只有了解了学生的已知是什么、能知多少、想知是什么、他们以为是怎么知的、本课的未知是什么，才能使课时目标设计更有明确的指向性，才能更好地选择教学策略和设计教学活动，预测可能会碰到什么困难、会生成哪些资源．以学情为基础，保证了课时目标设计的针对性．

2 课时目标案例分析

课例：任意角、弧度(苏教版必修4三角函数第1、2课时)．

2.1 课程目标分析

任意角、弧度所在的“三角函数”的课程目标是：三角函数是描述周期函数的数学模型，也是一种基本初等函数，在数学和其他领域中具有重要作用;三角函数既是解决生产实际问题的工具，又是进一步学习其他知识的基础．通过本章学习，能使学生认识到三角函数与实际生活紧密联系，从中感受数学价值，学会用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界、用数学的工具改造(服务)世界．增强学生的问题意识和数学应用意识，使学生在今后的学习和生活中碰到周期现象能用恰当的三角函数分析和解决问题．

2.2 单元目标分析

任意角、弧度所在的“三角函数”的单元目标是：

(1) 了解任意角的概念和弧度制，能进行角度弧度互化．

(2) 掌握任意角三角函数的定义，并能借助单位圆理解同角三角函数基本关系，能借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式．

(3) 了解三角函数的周期性，能画出正弦、余弦、正切函数的图象，并能研究其性质．

(4) 了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义，理解各参数的变化对函数图象的影响，能应用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型．

落实本单元教学目标需要16课时，任意角、弧度是第1、第2课时，完成目标(1)．但目标(1)还是太宽泛，需要细分．任意角的单元目标可细分为：

(1) 理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角．

(2) 能在0°～360°范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角．

(3) 能写出与任意已知角终边相同的角的集合．

对以上单元目标，进一步的解读为：目标(1)的关键词是“理解、学会”，行为指向的目标均为任意角，理解的是它的概念，学会的是它的几何表示．理解和学会均为内在心理动词，刻画的是信息内部加工的过程，有必要将它们改写成外显的行为动词(如解释、说明、分类、推测、比较、总结、抽象等)去探测内部心理活动过程．因此,能找到确切的例子来解释说明任意角，能自然地找到坐标系来刻画角的几何意义．对于目标(2)(3)能解释说明引入终边相同角概念的必要性，能识别象限角、轴线角，能用集合语言表述上述概念．

弧度制的单元目标可细分为：

(1) 理解弧度的意义，能正确进行弧度与角度的互化，熟记特殊角的弧度数．

(2) 了解角的集合与实数集之间可以建立起一一对应关系．

(3) 掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题．

对于上述单元目标，进一步的解读为：目标(1)的关键词是“理解、互化、熟记”，行为指向的目标是弧度制；理解的是弧度的意义，能清晰地认识到引入弧度的必要性，能认清弧度和角度的关系和换算方法，能熟记特殊角的弧度数——这一点实际上也告诉学生数学同样需要记忆和背诵．数学其实也是一门语言，掌握它的语法规则除了理解，就是要强记了．

就像根式和分数指数幂之于指数函数、对数的概念以及其运算性质之于对数函数，任意角、弧度是三角函数的预备知识，学好这部分知识对三角函数的学习大有裨益．因此，让学生学好这部分内容，其课时目标必须具体细致，指向明确．

2.3 教材内容分析

本章的所有内容都是围绕三角函数这一核心展开的．是函数就要有定义域、对应法则和值域三要素，还可能要研究函数的各种性质，单调性(增减性)、奇偶性(对称性)以及周期性(循环性)．但我们常规认识的角与函数的要求相去甚远．为了迎合函数的要求，首先要对角进行改造，使它符合函数的各项要求．

本节课是三角函数的章节起始课，是三角函数的预备知识，是后继三角函数的基础和铺垫．由于函数是建立在两个非空实数集上的单值对应，而平常认识的角作为函数自变量有两个致命缺陷：一是角的范围狭窄．一般认识的角为0°～180°内的角，更狭义一点是0°～90°这个范围，由于研究扇形的需要，扩充到了0°～360°，其中180°～360°的角理解成常规意义的角也很牵强．但实数是(-∞,+∞)上的连续数集，两者的范围严重不一致．二是角度进制与实数进制不同．角度是六十进制的，而实数是十进制的，两者不能互容．另外，传统意义上的角是静止的，是不连续的、零散的，而实数是连续的、稠密的，可以用运动的观点来刻画实数，这其实也是传统意义上角的又一个缺陷．因此，这两节课的主要功能就是弥补这三个缺陷，让角与实数一样，取值范围也能是从负无穷大到正无穷大的连续范围，能作为函数的自变量而不别扭．为了达到这一目的，教材用旋转来重新定义角，并且规定逆时针方向为正方向、顺时针方向为负方向，不作转动为零角．为了与平时认知的角不发生冲突，就借助坐标系这个工具，用终边相同角来刻画角的几何意义(实数是用数轴来刻画其几何意义的)．为了能让角也成为十进制的实数，所以引入圆中弧长和半径的比例来刻画角的大小．因为圆的一周与圆的半径的比例是2π，所以2π=360°，这样，角就是实数，实数也可以表示角．一切都那么合情、合法、合理．

2.4 学生情况分析

学生对三角函数是有一定认知基础的．苏科版初中阶段对三角函数的认识是通过直角三角形获得的．学生明白一个角的三角函数值就是一组比值，其中正弦值是对边比斜边、余弦值是邻边比斜边、正切值是对边比邻边，并熟记了特殊角的三角函数值．确切地说，初中所学的三角函数用三角比来定义可能更为贴切．

进入高中后，学生对函数有了更深刻的认识，通过集合语言来理解函数概念．学生知道研究函数首先研究函数三要素，尤其是定义域,其次要研究函数性质;将三要素和三性质都研究透后，一个函数就算研究完成．在学习三角函数之前学生已经学习了三个重要函数：指数函数、对数函数和幂函数,学生对函数的研究流程有所了解：先是预备知识，而后步入正题，最后是函数应用．

任意角实质是角的概念的推广．对于概念的推广，学生也有一定的认识．这种认识主要来自于数的推广；数的推广的主要动力来自于某些运算结果在原数集中没有对应的数．推广的主要目的是解决原来不能解决的问题，但推广要注意必须涵盖已有的内容，更不能与已有的有矛盾．角的概念的推广也是解决原有的角概念不能描述周期这一新现象的问题，更是为了迎合函数定义域是个连续且无限的范围的要求．

弧度制是角的一个全新概念．定义新概念的目的也是要解决原先不能解决的问题．由于进制不同，角的概念即使推广后还是无法作为函数自变量融入函数定义域的大家庭，因此必须改变原有度量方式．一个对象、两种度量方式，新定义的度量方式首先必须有必要，其次必须合乎情理，与已有知识没有相悖的地方，而且两种不同方式之间必须有相互转化的规则．对于新定义概念，学生的最初认识就是根式和分数指数幂，也是一个对象、两种不同的表现形式，而且也有互化的规则．

2.5 课时目标设计

基于以上分析，这两节课的课时教学目标可以这样设计：

任意角的课时目标设计：

(1)观察与比较生活中的实例(体操中的转体、跳水中的空中翻腾、钟表的时针、自行车轮子、螺丝扳手、曲柄连杆等),从中认识到角概念推广的必要性；用旋转定义角的必然性，概括出任意角的基本模型及其基本特征，并能发现新定义的任意角与圆及圆周运动的相关性，能用坐标系来表示任意角的几何意义．

(2)能清晰认识到在旋转定义下，角的始边放在x轴非负半轴的合理性、角的终边重合的可能性，理解引入终边相同角的必要性，能在0°～360°范围内找出一个与已知角终边相同的角，并判定为第几象限角或哪条轴线角．

(3)能用集合语言来表述任意角的概念，能写出与任意已知角终边相同的角的集合．

(4)能找出与已知角关于原点、轴线对称的角的终边相同的角的集合．

弧度制的课时教学目标：

(1)理解角的大小与圆弧长和圆半径本身的大小无关，而与它们的比例有关，并能认清π是个实数而不仅仅是个符号．理解弧度的意义，能找到沟通弧度与角度的桥梁，从而正确进行弧度与角度的互化，熟记特殊角的弧度数，会用弧度制书写终边相同角的集合，会用弧度制表示与已知角关于轴线、原点对称的角的集合．

(2)了解角用弧度制表示的必要性，能在角的集合与实数集之间建立起一一对应关系，认清任意角的本源就是一个实数．

(3)掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题(主要是与扇形有关的问题)．

2.6 课时目标设计的评析

(1) 目标依据的科学化

上述课时教学目标的设计综合考虑了课程标准、教材表述、学生学情三个教学关键因素；在解读清楚课程标准、分析清楚教材文本、定位清楚学生情况的基础上进行详细分解，将每个目标进一步细化，并明确用行为动词描述目标，让课时目标真正成为可控、可测、可操作、可完成的实在目标，使目标变得科学、合理和可行．

(2)目标指向的准确化

用动词来描述课时教学目标使目标指向更明确，行动方向更准确．上述各条教学目标所用的动词(观察、比较、联想、概括、抽象、体会、经历、发现等)清楚地反映了学生通过学习后所呈现的行为反应，让其内部心理过程全部暴露出来，便于教师清楚观察、及时调控、及时修正教学偏差以及进行课堂教学效果的有效检查和及时反馈．

(3)目标主体的明确化

传统教学目标的行为主体是教师，立足于教师怎样教，并不关注(或者很少关注)学生怎么学．上述课时教学目标的设计摒弃了传统教学目标的主体错位现象，每一条目标的陈述均立足于学生的学，站在学生的角度阐述学习应该经历怎样的过程、学习成功之后行为上会有怎样的变化，对于教师的教只是兼顾而已．以学生为本的课堂是高效课堂的基本特征之一．当然，突出学生主体的同时，教师的主导作用也不能忽略．

(4)目标条件的清晰化

不管哪一堂数学课，一节课下来应该是让学生“清清楚楚几条线”，而不该是“模模糊糊一大片”．因此，上述课时教学目标的设计都遵循了从生活中的实际情境出发，抽象出圆模型来刻画任意角，并借助坐标系来表示其几何意义．为了满足函数的各项要求，对任意角的度量作出了相应改变．这些都清晰地描述了学生在怎样的情境下完成规定的学习活动．每一条目标都起到了导学、导教以及监控的作用．

(5)目标标准的素养化

数学核心素养着眼于学生当前的能力和今后的发展．课时教学目标阐述了学生的学习表现或学习结果应该达成的能力和水平．上述课时教学目标整合了多个维度的教学目标，各条目标都明确指向数学核心素养，让学生在知识发生、发展的过程中提升自己的数学能力和思维品质，体会数学学习的快乐，真正把数学核心素养的培养落实到平时的每一节课．

3 结语

精准的课时教学目标设计是提高教学质量的先决条件．有了明确可行的目标，才能设置恰当的问题情境，调整教学方案，优化教学环节，制定合理的评价方案，改进各种教学不足，转变我们的教学观念和课程观念，进而提高每节课的课堂教学效益．每一节课的教学质量提高了，那么整个教学质量也就水涨船高了．