藏“系”于身 “待定”而动——对一道不等式证明题的分析与思考

(浙江师范大学教师教育学院 321004)

著名数学教育家G·波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要.”这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题、探索问题的规律性东西要有一双敏锐的眼睛.不等式问题一直是广受高考和各类数学竞赛青睐的考点，但是不等式中各种代数变形总是令人难以把握其精髓，尤其是一些奇思妙解，仿佛凭空而来.实际上，这并不是毫无规律可循，通过待定系数法与不等式的巧妙结合，一些复杂数学问题可迎刃而解.笔者结合自身的学习经历，从一道不等式证明题展开分析与思考，结合各类书籍杂志中的奇思妙解和自己的一点想法，与读者共飨.

1 试题呈现

这是一道平时训练常见的题目，主要考查的是不等式的相关知识.此题解法较多，学生的方法及花费的时间也是不尽相同.其中最常见的证法如下：

点评这是学生最容易想到的解法，也是常规解法.添“1”运用均值不等式.

笔者针对此题，有如下思考：

点评求解时，调整系数、拆项、补项是常用技巧.但调整系数、拆项、补项时，既要考虑不等式的结构，又要符合相关要求，难以确定.此时若使用待定系数法设k进行搭配，就可兼顾几方面要求.第二步，运用均值不等式，只需求出系数k即可.

点评观察到所给式子的分母之和为1，想到三角函数的基本公式sin2α+cos2α=1，设出系数为S，并用两种形式表示S.与证法2颇有不同，通过运用均值不等式得出有关S的不等式，解得S范围. 从求解方法上看，本题既落实基础又立意新颖、不落俗套，着实是一道好题.

2 相关变式

解令a=1+cos2α，b=1+sin2α，则a≥1，b≥1，于是得到

点评所给式子分母略微有点变化，但仔细一看，本质相同.只不过第一步，首先运用换元而已.第二步以及第三步与证法2完全一致.而运用证法1却显得繁琐，此处体现了证法2的优势.

点评针对这一二元不等式的两种证法，大部分老师或者学生都会采用证法1，往往忽略了证法2的创新.对比之下，在面对考试策略上明显是证法1更胜一筹，但是作为平时练习，证法1忽视了解题探究中思维能力的培养，淡化了解题教学过程中学生数学学科核心素养的提升.

点评由二元推广到三元，这是大部分高中生所能接受的.尽管，柯西不等式仍可以秒解，但证法2告诉我们等量的待定系数法同样适用.

点评本题初看，难以下手，与前面几题都有所不同，所证式子的分母次数升为2次.此时，这一类待定系数法的优势逐渐体现出来. 设出等量，根据所求式子分母的次数，配上相应的系数，从而得证，此解法不可谓不巧.

点评不难发现，在二元不等式中，所证式子分母次数变为3次，只需在等式左边的等量配凑上系数3即可.

点评本题来自于数学奥林匹克丛书的一道题.从竞赛的角度来说，运用赫尔德不等式可以很简洁地证明，当然变式5同样可以.但是其构造要求太高，学生也难以接受.而与例题相比，证法3的优势体现得淋漓尽致.题中拓展到了三个变量，所给条件和所证式子中出现2次和6次.与证法3相同，设出等量S，根据三元均值不等式，得到有关S的不等式，得证.

3 解题反思

待定系数法是一种重要的数学方法，在许多数学问题的解决中都能看到它的“身影”.在解题时，要利用好待定系数法，首先要观察代数式的基本模式，然后在不确定的系数位置设置参数.再结合其他条件解出参数，从而达到确定代数式的目的.待定系数法的最大好处在于不必事先知道相应系数的值，只需要用参数代替，到合适的时机再求出参数.

从本文的例题以及变式中可以窥见，待定系数法是多项式恒等变形以及求证不等式中一种有效方法，其解题步骤是：设所求为一个含有待定系数的恒等式，再根据多项式恒等的定义或者性质得到有关待定系数的不等式，求出待定系数的值，而所求即为待定系数，从而使原问题获解.这一方面表明，数学思想方法奇妙无穷，另一方面说明，只要我们努力去探索、善于思考，将会发现任何一种数学思想方法都有用武之地.

4 结语

巧妙地运用待定系数法，设等量，恰当配凑，可以创造性地与均值不等式相结合解题.因此在教学中，需要通过各种各样的解题方法来提高学生的思维.而每一种方法都各有利弊，我们能做到的是对每一种方法都有深刻的认识.对于教师来说，需要通过有限的典型例题学习，去理解那种解无限道题的教学机智.对于学生来说，遇到具体问题的时候，能努力地多角度思考，这样必能寻得有趣的解法.通过这样的探究，既开拓了学生的思路，又活跃了学生思维，培养了学生的数学能力.对于笔者而言，同样受益无穷.