尊重学生认知规律 突出几何思维梯度——范希尔几何思维层次理论对“丰富的图形世界”的教学启示

(江苏省太仓市沙溪第一中学 215421)

几何历来是初中数学学习的难点，也是学生两极分化的起点．笔者近期参与了区域公开课的评审活动，参评的题目为七年级“丰富的图形世界”．笔者发现，三位选手在处理这节可称为是初中几何第一课的课时，都存在对学生的认知层次定位不准、提出的问题高于学生认知水平的问题，设计了思维梯度跳跃的活动环节．因此，本文以范希尔(Van Hiele)几何思维层次理论为依据，通过对这三节课教学设计的对比，来揭示范希尔几何思维层次理论在几何入门教学中的作用．

1 范希尔几何思维层次理论

范希尔几何思维层次理论符合中学生学习几何的认知特点，在中学数学教育教学中具有重大的作用．20世纪50年代末，范希尔夫妇提出几何思维发展水平的理论，认为学生的几何思维发展可以划分为五个水平：视觉层次(visual)、分析层次(analysis)、非形式演绎层次(informal deduction)、形式逻辑层次(formal deduction)以及严密性层次(rigor)．

根据范希尔几何思维层次理论，我们将学生的几何思维发展划分为五个阶段：①可视化阶段，即学生能够描摹和区分图形，但还不知道图形的性质和名称；②分析阶段，即能判断图形中的边角性质，但无法理解性质内的关系；③非形式化推理阶段，即能够对几何命题进行描述性的非演绎推理；④演绎推理阶段，即能够用几何符号语言进行严格推理和逻辑证明；⑤精确严密阶段，即学生能够对几何命题和推理过程进行整合、反思和拓展，形成知识体系．

另外，范希尔几何思维层次理论还认为，这些不同的层级是不连续的，但是顺次的．因此，我们在教学中还要设计一些“思维的危机(crisis of thinking)”，使学生从低一级认知水平跳跃到高一级认知水平，从而使学生的几何学习能力得到提升．我们在进行几何教学时，必须要考虑学生所处的思维水平，也就是说，如果教师的教学期望值过高于学生的思维水平，那么就不可能取得预期的教学效果．

2 本课例的教学背景

学生在小学已经认识了一些基本的立体图形(球、圆柱、长方体、正方体等)，“丰富的图形世界”要求学生在正确识别柱体和锥体、棱柱和棱锥的基础上，能够从各立体图形的顶点、棱和面的结构特点上进行精确的判断和精准的定义．

本节课的学习能够使学生感受到几何图形和生活实际是息息相关的，并为后续立体图形与平面图形的转化打好基础，初步建立起空间观念，发展几何直观．

3 三个教学设计的对比分析

本次评比活动中的三位教师都能够从学生的最近发展区出发导入新课、激发兴趣，能够自觉地将范希尔几何思维层次理论应用于课堂教学，但是在处理过程中还存在某些不足和值得商榷的地方．

3.1 J教师的教学设计

J教师基本上按如下的环节进行教学：情境引入→认识立体图形→分类识别→点线面的关系→明确圆柱的构成→探究欧拉公式→明确圆锥的构成．

J教师首先出示了北京、上海等地的标志性建筑，让学生从实物中找出几何图形；然后和学生一起对涉及的图形进行分类，最终得到了柱体、锥体和球体这三种立体图形，并对柱体和锥体进行了细分，得到了圆柱、棱柱和圆锥、棱锥．接着，教师引导学生从点线面关系的角度对上述几何图形进行了分析，得到了面面相交得线、线线相交得点，并以相关的图片进行佐证.然后，教师通过gif动画、几何画板演示等教学手段，引导学生得到点动成线、线动成面、面动成体的规律．在得到点、线、面关系之后，教师以棱柱为例，具体指明了各点、线、面的名称和特点，要求学生通过点、线、面的关系来辨别棱柱．接着，教师让学生数各个棱柱模型的顶点、棱和面，完成表格后引导学生猜想得到欧拉公式．最后，教师以棱锥为例，引导学生找出棱锥的顶点、棱和面．

3.2 T教师的教学设计

T教师设计的教学环节是：情境引入→认识立体图形→点线面的关系→辨析棱锥与棱柱的关系→辨析圆柱与棱柱的关系→对立体图形进行分类→探究欧拉公式→解决正方体表面上蚂蚁路线最短问题．

T教师用承办学校的校园图片引入新课，让学生从图片中寻找立体图形，并要求说出各立体图形的名称；然后，学生在教师的引导下将棱柱和棱锥按侧棱数进行了细分；接着，教师借助PPT演示了点动成线、线动成面和面动成体的动画，并引导学生反向思考线与线相交、面与面相交得到的图形；然后从点、线、面的角度去研究棱柱与棱锥的区别、圆柱与棱柱的区别，并对常见的立体图形进行分类；最后，学生在教师的引导下，通过完成表格来归纳欧拉公式，并就正方体表面上的蚂蚁从一个顶点爬到另一个顶点的最短距离问题，探索了正方体的多种表面展开图．

3.3 S教师的教学设计

S教师设计的教学环节是：情境引入→对立体图形起名字→点线面的关系→认识棱柱的棱、面和顶点→认识棱锥的棱、面和顶点→对常见的立体图形进行分类．

S教师先从金字塔等建筑图片中引导学生找到立体图形，并对找到的图形进行命名；然后在教师的引导下，学生研究了点线面的关系，其间教师穿插了PPT制作的动画演示；接着，教师分别以棱柱和棱锥为例，引导学生识别组成图形的各个元素，还介绍了直棱柱与斜棱柱的区别和联系；最后，师生一起对常见的立体图形进行了分类．

纵观三位教师的设计，有差异也有类似之处．例如，三位教师都是从生活实例出发，让学生从生活场景中认识几何图形，这符合学生的认知规律，从这一环节学生的参与度可以看到，这样的设计符合学生的认知层次，是有效的．在这之后三位教师的处理方式截然不同：J教师要求学生对立体图形进行分类，T教师尝试从点线面的关系对立体图形的本质特征进行归纳，S教师要求学生给这些见过和没见过的几何图形命名．很明显，到了这个环节，学生的思维出现了较大的断层，可以觉察到学生已经存在了分化．这种分化说明学生在几何思维层次上并不都处于同一个水平，而我们需要找到学生目前的层次，通过设计问题和活动来促进其思维向更高层次发展．

4 基于范希尔理论改进的教学设计

课堂教学讲究低起点、多台阶，要从学生的最近发展区入手搭建思维的脚手架，范希尔几何思维层次理论正为我们提供了这样的依据．

学生在小学六年的数学学习中，接触最多的是运算，而对几何图形的接触较少，且大都只是一些简单的基本图形，很少涉及对图形性质的研究，更谈不上几何推理和证明．从范希尔几何思维层次理论来看，刚升入初中的学生，其几何思维层次基本处于可视化阶段和分析阶段之间，少数学生能够达到非形式化推理阶段．此时的学生能够区分不同的图形(例如小学已经学习的柱体、球等)，但还不知道图形的命名规则和性质．因此，我们应该注意顺应学生的认知规律和特点，在各个层级之间设计脚手架，构建循序渐进的学习环节，引导学生完成思维的发展．

4.1 层次1：直观——感受几何图形

通过典型的建筑图片和生活实例，引导学生从图片中归纳和概括出几何图形，并能从提供的几何模型中找到与图片相对应的几何图形．在这个环节，要求学生将学过和没学过的几何图形进行区分，为后续的教学提供思维的起点，不必强求学生都能够说出各几何图形的名称，尊重学生的认知规律．

4.2 层次2：分析——认识几何图形

对于小学已经学过的几何图形(如球体、柱体等)，要求学生能够说出它们的区别与联系．例如，学生知道球由曲面组成，圆柱由两个平面和一个曲面组成，棱柱由若干个平面组成，即学生能够正确区别球体、圆柱和棱柱，并能说明理由．学生还要能够归纳出“柱体的两个底面完全一样”的规律．对于棱柱，学生要能够归纳出面、棱和顶点的个数的规律，并能按此规律对棱柱进行命名．在这个过程中，学生通过实例了解面与面相交得线、线与线相交得点的道理．

通过对柱体的研究，归纳出初中几何研究的主要方法，目的是运用类比来研究锥体，即学生能够自主地探究圆锥与棱锥的区别，以及按面、棱和顶点个数的规律对棱锥进行命名．如此，学生的思维自然而然地得到了提升．

最后，设计将几何图形分类的教学环节，考查学生是否掌握对立体图形进行命名的规则，并能形成常见立体图形的知识结构框架．

4.3 层次3：说理——几何图形的再认识

根据范希尔几何思维层次理论，这一层次的几何思维特征还没有到达严密的逻辑推理层面，学生能够用非演绎的方式，通过对图形特点的描述，或者借助数学实验等辅助手段发现一些几何性质．因此，本环节设计为几何图形的再认识，目的是引导学生感悟初中几何学习的方法，即研究几何图形的边、角的位置关系和数量关系等．例如，在棱柱的再认识环节，引导学生探究各侧棱之间的关系、侧棱和底面各棱的关系等，并通过几何画板的动态演示，了解直棱柱与斜棱柱的各边、角关系的变化，以及棱柱与棱锥的本质关系(将棱柱的一个底面缩为一点)等．

本节课的教学目标并不需要学生达到范希尔几何思维层次理论的层次4和层次5，因此本节课不必设计过难的几何推理问题．

5 范希尔理论运用的反思

5.1 找准思维的起点

大卫·奥苏贝尔(David Ausubel)曾说：“影响学生学习的唯一最重要的因素是学习者已经知道了什么，要先探明这一点，然后再进行相应的教学．”范希尔几何思维层次理论恰恰是对学生的思维进行了合理分层，也告诉教师要了解学情、了解学生现有的思维层次、了解学生之间的差异性，从而设计更有针对性的问题、活动和更科学合理的方案以应对学生个性化的学习需求，帮助他们更好地学习数学、更好地发展几何思维．

5.2 定位真实的学力

数学课程标准中指出：“数学教学是数学活动的教学，教师要从学生的经验和已有的知识出发，创设生动的数学情境……”但是，受一些传统观念和分数至上观念的影响，在教学中，教师常常因“应试学力”的成功而忽略了对学生“真实学力”的追求．学生的“真实学力”是一种“发展性的学力”，是在原有思维层次基础上主动建构的学习过程．范希尔几何思维层次理论定位学生从不会到会、从不能到能的转化，实现知识获得、技能形成、经验积累、思想领悟和品格塑造，进而培养学生良好的学力．

总之，范希尔几何思维层次理论的五个思维水平清楚地说明学生的不同学习阶段、不同学习过程和不同学习方法的几何思维差异，从而有效地帮助教师判断学生所能达到的几何思维层次，较容易地实现对学生思维发展质性影响的量化分析，为教学设计的针对性、有效性及个性化教学提供了理论支撑和实践经验．